Oppgrader til nyeste versjon av Internet eksplorer for best mulig visning av siden. Klikk her for for å skjule denne meldingen
Ikke pålogget
{{session.user.firstName}} {{session.user.lastName}}
Du har tilgang til Idunn gjennom , & {{sessionPartyGroup.name}}

Er hovedindeksen en optimal portefølje med hensyn til avkastning og risiko?

Denne studien viser at aksjeindeksen OSEAX ikke er en optimal portefølje i klassisk forstand. Ved å anvende Markowitz’ metode for minimumvarians-porteføljer (MVP) på et utvalg av delindekser viser det seg at det er mulig å oppnå høyere forventet avkastning for marginalt lavere risiko «in-sample» for hele perioden 1996–2016. For hovedindeksen OSEBX er forskjellene enda større i favør av den optimaliserte porteføljen, både med hensyn til risiko og forventet avkastning. Disse verdivektede referanseindeksene tilfredsstiller dermed ikke kravet til en effisient «markedsportefølje». Stabiliteten til porteføljevektene er undersøkt ved et ekspanderende estimeringsvindu. Vektene endrer seg noe, men beholder samme rangering. «Out-of-sample»-porteføljer med disse vektene gir et minst like godt eller vesentlig bedre risiko-avkastningsforhold sammenlignet med referanseindeksene. Resultatene er i samsvar med internasjonal forskning på området.

Nøkkelord: porteføljeoptimering, minimum varians

Introduksjon

Formålet med artikkelen er å undersøke hvorvidt hovedindeksen på Oslo Børs tilfredsstiller kravet til en såkalt markedsportefølje, det vil si en portefølje med et optimalt risiko-avkastningsforhold. Hvis så er tilfelle skulle det ikke være mulig å sette sammen en portefølje av enkeltaktiva eller sektorindekser innenfor universet av aktiva i hovedindeksen som gir høyere avkastning for samme risiko (eller lavere risiko for samme avkastning).

Testmetoden er å estimere en minimumvarians-portefølje (MVP) ved bruk av Markowitz metode for optimale porteføljer, jfr. Markowitz (1952), og deretter sammenligne risiko og avkastning fra denne porteføljen med referanseindeksene OSEAX1 (OSE) og OSEBX2 (OSB). Datasettet omfatter månedlige sluttkurser for 5 sektorindekser i tillegg til OSB og OSE i perioden januar 1996 til november 2016. Vi foretar også en undersøkelse av stabiliteten til de estimerte porteføljevektene. Dette gjør vi ved å backteste to porteføljer, hver med 5 års investeringshorisont.3

Artikkelen fortsetter som følger: Neste seksjon gir en kort innføring i grunnprinsippene i Markowitz’ metode. Seksjon 3 ser på relevant litteratur om temaet MVP, hvor det også tas opp hvorfor slike porteføljer ser ut til å ha bedre prediksjonsegenskaper enn annen porteføljeoptimering. Deretter følger en beskrivelse av datasettet i seksjon 4. I seksjon 5 demonstreres MVP-metoden med en portefølje bestående av kun to aktiva. Her beregnes det som kalles «den effisiente fronten» samt en MVP med to utvalgte sektorindekser. I seksjon 6 gjentar vi øvelsen fra seksjon 5 med 5 sektorindekser og sammenligner MVP med OSB og OSE for hele perioden. Stabiliteten i porteføljevektene undersøkes ved et ekspanderende estimeringsvindu som backtestes med hensyn til forventet avkastning og risiko. Seksjon 7 oppsummerer og konkluderer. Et appendiks inneholder litt om shortsalg i Norge.

Grunnleggende antakelser

Markowitz’ metode er basert på to fundamentale prinsipper:

  • Maksimere forventet avkastning.

  • Minimere risiko, hvor risiko er definert som standardavviket (også kalt volatilitet) til porteføljeavkastningen.

Disse prinsippene hevdes å være motstridende siden det antas at risiko og avkastning generelt har positiv korrelasjon: Større forventet avkastning er assosiert med større risiko. Det følger at porteføljeoptimering blir en avveining mellom risiko og avkastning. Når det gjelder MVP forsøker denne metoden å finne porteføljevekter som gir et globalt variansminimum: Det skal ikke finnes andre porteføljer sammensatt av risikable aktiva som har lavere varians og minst like høy avkastning. Dersom man ønsker høyere avkastning må man i teorien finne seg i at porteføljen også har høyere risiko, hvor risiko måles med varians (eller standardavvik, som er kvadratroten av variansen). Spørsmålet vi stiller oss er hvorvidt referanseindeksene på Olso Børs tilfredstiller dette kravet, eller om vi kan plukke ut enkeltsektorer med lavere varians og minst like høy avkastning. Dersom det siste er tilfelle kan vi si at referanseindeksene er ineffisiente med hensyn til avkastning og risiko.

Det ligger nokså strenge antakelser til grunn for de statistiske egenskapene til aktiva som inngår i porteføljen. Det kreves at avkastning er kovariansstasjonær, dvs. at momentene gjennomsnitt (forventningsverdi) og varians (spredning omkring gjennomsnittet) er konstante. I tillegg innebærer kovariansstasjonaritet at autokovariansen (eller autokorrelasjonen) for et aktivums avkastning ikke avhenger av observasjonstidspunkt, men kun av tidsavstanden mellom observasjoner. For stabilitet kreves det at autokorrelasjoner dør ut tilstrekkelig raskt når tidsavstanden mellom observasjoner økes. I standard finansteori stilles et sterkere krav med hensyn til tidsavhengighet for avkastning: autokorrelasjonen skal være lik null. Vi sier da at avkastningen skal være en IID-variabel («independent and identically distributed», også kalt CER-modellen (Constant Expected Return)). I tillegg antas:

  • Investorer kjenner aktivas forventningsverdier, varianser og korrelasjoner.

  • Investorer bryr seg kun om porteføljens forventningsverdi og varians.

  • Investorer er riskoaverse og misliker porteføljer med høy varians. (Standardavviket er mer hensiktsmessig å bruke fordi det er benevnt i same enhet som variabelen, f.eks. prosent eller kroner. Variansen har kvadrert benevning, hvilket er vanskelig å tolke.)

Gitt disse antakelsene skal vi forsøke å finne et sett av effisiente porteføljer, dvs. porteføljer som har høyest mulig forventet avkastning for et gitt risikonivå målt ved standardavviket.

Det er velkjent at antakelsene bak datagenereringsprosessen ikke holder empirisk (se for eksempel Mandelbrot (2004)). Typisk observeres avkastningsserier med opphopning av høy volatilitet («volatility clustering») og negativ gjennomsnittsavkastning i turbulente perioder preget av pessimisme og usikkerhet i markedet. Det motsatte er tilfellet i optimistiske perioder. Siden optimale porteføljevekter avhenger av estimert gjennomsnittsavkastning og volatilitet, følger det at vektene ikke er konstante, men avhengig av sentimentet i markedet. I denne artikkelen vil ustabilitet i noen grad vises i stabilitetstesten. Merk forøvrig at normalfordeling av avkastning ikke er påkrevet, se for eksempel Davison (2014) s. 178.

Flere modifikasjoner til metoden er blitt foreslått, og forskningen pågår. Likevel er grunnprinsippene om avveining mellom risiko og avkastning i Markowitz’ modell gyldige. Forståelse av CER-modellen til Markowitz vil også være nødvendig for å forstå mer komplekse modeller med tilstandsavhengige momenter.

Minimum varians kontra referanseindekser og annen optimering

I et pionerarbeid testet Haugen og Baker (1991) effisiensen til MVP’er. For perioden 1972–1989 estimerte de MVP og sammenlignet disse med den brede amerikanske referanseindeksen Wilshire 5000. De fant at MVP (uten shortsalg) hadde både høyere avkastning og lavere volatilitet. De konkluderte dermed med at «matching the market is an inefficient investment strategy». Clarke et al (2006) kom frem til det samme ved å konstruere MVP’er fra de 1000 største amerikanske aksjeselskapene i perioden 1968–2005. De sammenlignet resultatene fra ulike investeringsscenarier med indeksen S&P500. De brukte også ulike teknikker for å estimere varians-kovariansmatrisen. Deres MVP tillot heller ikke shortsalg.

Det er flere andre studier som indikerer samme forhold, nemlig at MVP utkonkurrerer benchmark-indekser, se for eksempel Jagannathan og Ma (2003) og Scherer (2010). Sistnevnte konkluderer med at MVP favoriserer aksjer med lav markedsbeta og lav varians.

Det hevdes også at MVP er mindre utsatt for prediksjonsfeil sammenlignet med andre typer porteføljeoptimering (maksimering av Sharpe’s Ratio og estimering av tangensporteføljen) fordi MVP ikke eksplisitt anvender prediksjoner av forventet avkastning (det analytiske uttrykket for MVP-porteføljevektene inneholder kun varianser og kovarianser). Siden forventet avkastning hevdes å være mer ustabil enn varians-kovariansmatrisen, vil MVP være mer stabil og dermed lettere å predikere. For eksempel, ifølge Jorion (1985):

An important observation is the crucial influence that errors in estimating expected returns have on portfolio analysis. A closer examination of optimal portfolios based on past sample mean returns as estimates of expected returns reveals a sharp deterioration of performance measures outside the sample period used to calculate means, and an instability of the optimum weights. Both problems can be traced to wide fluctuations in sample means. On the other hand, uncertainty in variances and covariances is not as critical because they are more precisely estimated.

Det er altså ikke bare risikoaversjonsargumenter som taler til fordel for minimumvariansporteføljen MVP, men også statistiske.

Data

Datasettet med månedlige observasjoner fra januar 1996 til november 2016 består av 5 sektorindekser fra Oslo Børs: i) informasjonsteknologi (IT), ii) finans (F), helse (H), iv) konsumentgoder (C), v) energi (E). Datasettet er lastet ned fra databasen TITLON, og utviklingen i indeksene i perioden er vist i Figur 1.

Figur 1:

Aksjeindekser. Rød: IT, grønn: F, blå: H, sort: C, gul: E, OSB: lilla.

Alle sektorene er indekserte og starter på verdien 100 slik at relativ vekst lettere kan sammenlignes. Stigningen og fallet til IT-sektoren rundt år 2000 er iøynefallende. Videre ser vi at konsumindeksen har hatt en sterkere vekst enn de øvrige, mens IT-sektoren har hatt den laveste veksten. Vi kan også merke oss den tydelige samvariasjonen mellom energi- og finansindeksen og referanseindeksene OSB. Avkastningen for disse sektorene har høyest korrelasjon med avkastningen for OSB (og OSE, se tabell 2). Standardavvik (volatilitet) for avkastning og gjennomsnittlig avkastning4 er gitt i tabell 1. I tillegg vises forholdet mellom forventet avkastning og volatilitet (Sharpe’s Ratio, kalt SR5). SR for IT-indeksen beregnes for eksempel slik: SR = 0,0082 / 0,1020 = 0,0804. SR er et hensiktsmessig mål dersom man bryr seg mer om hvor mye avkastning man får pr. risikoenhet (standardavvik) enn man bryr seg om total risiko.

Tabell 1:

Gjennomsnittlig avkastning µi og standardavvik σi

ITFHCEOSBOSE
µ i 0,00820,01300,01200,01540,01020,00750,0079
σ i 0,10200,07070,09000,08190,07480,06130,0580
SRi 0,08040,18390,13330,18800,13640,12240,1360

Vinneren i utvalgsperioden målt ved Sharpe’s Ratio er konsumvaresektoren, tett fulgt av finanssektoren. Dårligst ut kommer IT, mens hovedindeksen OSB er nest dårligst.

Tabell 2:

Korrelasjoner for avkastning

ITFHCEOSBOSE
IT1,000,480,380,380,450,680,67
F1,000,320,580,530,780,75
H1,000,240,320,440,44
C1,000,490,660,64
E1,000,810,86
OSB1,000,99
OSE1,00

MVP for 2 risikable aktiva

Markowitz-metodikkens hensikt og fremgangsmåte illustreres best ved en så enkel portefølje som mulig. To delindekser, helse og konsum er valgt (disse har lavest korrelasjon). Det beregnes optimale porteføljevekter samt det som kalles den effisiente fronten. Sistnevnte er en graf som viser mulighetsområdet for effisiente porteføljer og avveiningen mellom forventet avkastning og risiko, se figur 2.

Effisient front

Avkastning i prosent (enkel avkastning) er brukt som måleenhet. Den beregnes slik: La P i,t betegne aksjeindeks i, og la R i,t = (P i,t / P i,t –1) – 1 betegne enkel avkastning for indeksen på tidspunkt t fra tidspunkt t–1 til t. La µ h og µc betegne forventet (dvs. gjennomsnittlig) geometrisk avkastning for henholdsvis helse- og konsumindeksen. For eksempel, for indeks i er den geometriske avkastningen i løpet av perioden T:

    (1)

Mulighetsområdet for effisiente porteføljer kan illustreres med en graf som summerer opp risiko-avkastningsforholdet ved å vise forventet avkastning på den vertikale aksen mot risiko (standardavvik) på den horisontale aksen, se figur 2.

Figur 2:

Effisient front, portefølje med 2 aktiva. En portefølje bestående kun av aktivum C er lokalisert til skjæringspunktet mellom de stiplede linjene.

Figur 2 er konstruert ved å beregne forventet avkastning og standardavvik for ulike kombinasjoner av investeringer i helse- og konsumindeksen. Andelen investert i helseindeksen (H) kaller vi X h , mens andelen i konsumindeksen C kalles X c . Disse porteføljevektene summeres til én, slik at X c kan uttrykkes som 1 – X h . For helseindeksen varierer vekten X h fra – 0,4 til 1,4. Når vi lar vekten øke med 0,1 innenfor intervallet får vi 19 ulike porteføljekombinasjoner. Siden vekten til konsumindeksen X c er lik 1 – X h , vil denne variere fra 1,4 til – 0,4.

Legg merke til at plottet ser ut som en parabel veltet over på den ene siden (egentlig er grafen en hyperbel). Den loddrette streken går gjennom det punktet som angir porteføljen med lavest standardavvik (globalt minimum, eller minimumvarians-porteføljen MVP). Merk at kun den øverste halvdelen av grafen (fra MVP og oppover til høyre) angir effisiente porteføljer. I den nederste halvdelen vil porteføljene bli mer og mer ineffisiente, dvs. man får lavere og lavere forventet avkastning jo mer risiko.

Forventet avkastning og varians

Vi antar at investoren har en sum penger tilgjengelig som i sin helhet brukes på porteføljen bestående av de to sektorindeksene. Porteføljens avkastning benevnes Rp, og er et vektet gjennomsnitt av individuelle avkastninger (tidsindeksen t utelatt for enkelhets skyld):

R p = X c R c + X h R h .     (2)

Forventet avkastning og standardavvik for porteføljen benevnes E(R p ) = µ p og σ p . Disse parametrene er gitt ved:

    (3)

    (4)

    (5)

hvor σ hc betegner kovariansen mellom indeksenes avkastning. Sammenhengen mellom korrelasjon og kovarians er forøvrig gitt ved σ hc = σ h σ c ρ hc , hvor σ h og σ c er standardavvikene til avkastningene til H og C og ρ hc er korrelasjonen mellom avkastningene.

Hvis begge vektene er positive vil en positiv korrelasjon tendere til å øke porteføljevariansen fordi begge papirene tenderer til å bevege seg i samme retning, mens en negativ korrelasjon tenderer til å redusere porteføljevariansen (papirene beveger seg ulikt). En vil, muligens noe overraskende, også finne at porteføljer med positivt korrelerte aktiva kan redusere risikoen, gitt at korrelasjonen ikke er for høy.

I en likevektet portefølje for helse og konsumvarer blir porteføljens månedlige parametre for perioden som følger (detaljerte utregninger er vist i et senere eksempel):

µp = 0,01010,

σ p = 0,07034.

Forventet avkastning ligger midt mellom avkastningene til de to indeksene, mens porteføljens standardavvik er lavere enn standardavvikene til hver av de to komponentene. Dette viser at diversifikasjon, i dette tilfellet med kun to aktiva, reduserer porteføljerisiko når korrelasjonen er (tilstrekkelig) lav.

Minimumvarians-portefølje for 2 aktiva

Man kan gå frem på ulike måter når man skal finne en optimal portefølje, avhengig av investorens risikopreferanser. Man kan f.eks. sette en grense for hvor mye risiko en vil ta, og så beregne vekter som maksimerer forventet avkastning gitt denne bibetingelsen. Vi ønsker imidlertid å finne de vektene som gir lavest mulig porteføljevarians (et globalt minimum), og må da løse følgende minimeringsproblem under bibetingelsen at vektene summeres til én:

Min σ2 p,x  =  Xc 2 + Xh 2+ 2XcXhσ hc ,    (6)

Xc + Xh = 1.

Ved hjelp av Lagranges metode kan det vises at vektene i minimumvariansporteføljen i tilfellet med to aktiva er gitt ved:

 (7)

X c mvp = 1 − X h min.      (8)

For vår portefølje bestående av helse- og konsumindeksen får vi:

X h mvp = 0,3773

X c mvp = 1 − 0,3773 = 0,6227

Innsetting i formlene og sammenligning med referanseindeksene gir

µ mvp = 0,0141 = 0,3737 ∙ 0,0120 + 0,6227 ∙ 0,0154

σ mvp = 0,0678 =

SR mvp = 0,2082 = 0,0141∕0,0678

Dette er en forbedring i forhold til den likevektede porteføljen, og klart bedre enn både OSE og OSB (jfr. tabell 1). Annualisert får vi følgende forventede avkastning og standardavvik6 for perioden:

E(R mvp ) = (1 + 0,0141)12 1 = 0,1832

σ mvp = 0,0678 = 0,2349

Utvidet modell med 5 sektorindekser

Med flere enn to aktiva er det hensiktsmessig å formulere problemet ved hjelp av matrisenotasjon. Oppsettet av selve minimeringsproblemet, med Lagrangefunksjonen, de deriverte og hvordan man setter opp matrisene for å løse problemet med matrisenotasjon, kan fås ved henvendelse til forfatteren.

Den optimale 5-sektorporteføljen

De optimale variansminimerende porteføljevektene for hele perioden 1996–2016 er gitt ved vektoren

= (IT: –0,0007, F: 0,3288, H: 0,2308, C: 0,1660, E: 0,2749).

Den negative vekten til IT impliserer at dette aktivum burde selges (se appendikset for en kort redegjørelse om shortsalg i Norge). Imidlertid er tallverdien så lav at den for praktiske formål kan settes lik null. Høyest andel (32,88 %) skal investeres i finanssektoren, fulgt av energi (27,49 %) og helse (23,08 %).

Forventet avkastning, standardavvik og SR er gitt i tabell 3. Vi ser at MVP med 5 sektorer gir en ytterligere forbedring i forhold til 2-sektorporteføljene, og følgelig ytterligere forbedring i forhold til referanseindeksene. Den slår imidlertid ikke den optimaliserte 2-sektorporteføljen.

Tabell 3:

Prestasjonsmåling «in sample»

µ mvp 0,00934
σ mpv 0,05847
SR mvp 0,15974

Investeringscase

For å undersøke stabiliteten til vektene lages scenarier for to påfølgende investeringsperioder, hver på fem år. For investeringsperiode 1 (januar 2006 til desember 2010) estimeres vekter med data fra januar 1996 til desember 2005 (estimeringsvindu 1). For investeringsperiode 2 (januar 2011 til desember 2015) rebalanseres vektene med data fra januar 1996 til desember 2010 (estimeringsvindu 2). For hver investeringsperiode beregnes porteføljeavkastning, standardavvik og Sharpe’s Ratio ved bruk av vektene for MVP beregnet i tilhørende estimeringsvindu, og som sammenlignes med OSB og OSE.

MVP-vektene i de to periodene er vist i tabell 4.

Tabell 4:

MVP, periodevekter

ITFHCE
Estimeringsvindu 1–0,073790,555460,198680,151240,16842
Estimeringsvindu 2–0,028800,363350,288120,123240,25410

Det overordnede bildet faller sammen med MVP-vektene for perioden sett under ett: IT-sektoren har negative vekter med små tallverdier, men fallende jo mer en utvider estimeringsvinduet. Dette henger rimeligvis sammen med at dot.com-krisen har større relativ vekt i datautvalget for periode 1, og shortsalg av IT blir dermed mer gunstig. Rangeringen av øvrige vekter er også lik, men forskjellene mellom dem er mindre.

Resultatene fra investeringscaset er gitt i tabell 5, der porteføljeavkastning er beregnet ved å vekte de respektive månedlige gjennomsnittsavkastningene med minimumvarians-vektene for hver periode. MVP målt ved Sharpe’s Ratio (SR) er litt dårligere enn både OSE og OSB i investeringsperiode 1. I investeringsperiode 2 derimot, er resultatet vesentlig bedre for MVP målt mot begge referanseindeksene.

Tabell 5:

Resultater investeringscase

Periode 1Periode 2
µ min 0,003380,00884
σ min 0,077950,04263
SR min 0,043330,20745
µ ose 0,004270,00481
σ ose 0,074960,03702
SR ose 0,056930,13002
µ osb 0,004670,00548
σ osb 0,078730,03823
SR osb 0,059290,14326

Resultatene indikerer at det kan være en fordel å sette sammen en MVP i stedet å investere i den brede OSE-indeksen. Dette på grunn av at MVP ikke gjør det vesentlig dårligere i det dårligste scenariet samtidig som den gjør det vesentlig bedre i det beste scenariet (SR for MVP er ca. 1,6 ganger SR for OSE og ca. 1,45 ganger SR for OSB).

Samlet sett favoriseres dermed MVP: Man oppnår litt lavere avkastning for omtrent samme risiko i den dårlige perioden, men oppnår et vesentlig bedre forhold mellom avkastning og risiko i periode 2. I denne perioden ser det ut til at tesen om at høyere forventet avkastning krever høyere risiko motsies: MVP gir høyere avkastning med lavere risiko. Men da bør man huske at dette er ment å gjelde for effisiente porteføljer7. Verdivektede benchmarkindekser er ikke nødvendigvis effisiente, slik denne og andre studier viser.

Et annet interessant poeng er at OSB tenderer til å gjøre det bedre enn OSE ved rebalansering, mens perioden samlet sett favoriserer den bredeste indeksen OSE. En langsiktig investor som ikke optimaliserer eller rebalanserer vil dermed trolig tjene på å velge en OSE fremfor OSB. En optimaliserende og rebalanserende investor bør imidlertid velge en MVP.

Praktiske forhold ved handel av sektorindekser

Sektorindeksene som inngår i denne undersøkelsen handles vanligvis ikke direkte på børsen. Enten må man undersøke om noen meglerhus tilbyr salg av indeksen i form av et derivat basert på de underliggende selskapene som kalles CDF (Contract For Difference), eller man kan kjøpe aksjene som inngår i indeksene. For CDF eier man ikke selve verdipapiret, men man kan tjene penger på at selskapene i indeksen beveger seg fordelaktig. Hvis man for eksempel tror kursene vil stige inntas en kjøpsposisjon (long). Jo mer selskapene stiger, jo mer tjener man, og jo mer de faller jo mer tapes.

Transaksjonskostnader avhenger av den kurtasjen du betaler til meglerhuset du benytter for å handle produktet, enten det gjelder individuelle aksjer eller CDF. Rimeligvis påløper det mer transaksjonskostnader jo oftere porteføljen rebalanseres, og fordelen ved å treffe bedre med porteføljevekter må avveies mot økte transaksjonskostnader.

Avsluttende bemerkninger

Ved å estimere minimumvarians-porteføljer har det blitt vist at det er mulig å sette sammen porteføljer fra selskapsuniverset på børsen som gir vesentlig bedre forhold mellom risiko og avkastning enn hovedindeksen og OSEAX. Dette impliserer at referanseindeksene ikke er effisiente porteføljer med hensyn til avkastning og risiko, og følgelig ikke gode proxier for «markedsindeksen». Et spørsmål som ikke er besvart fullt ut er hvorvidt en shortsalg-restriksjon ville endret resultatene vesentlig. Det er lite som tyder på det i dette tilfellet, siden shortsalg-vektene er nokså nær null. Et annet spørsmål man kunne adressert er selve utvelgelsen av sektorer (eller selskaper) ved rebalanseringen. Her kunne man ganske enkelt også estimert nye korrelasjonsmatriser og latt disse styre utvelgelsen.

Fremskrivning av resultatene avhenger av at antagelsene i aktivapris-modellen er korrekte. Typisk holder ikke disse antagelsene. Det er derfor ingen garanti for at de estimerte resultatene holder i fremtiden. Studien har uansett vist at et utvalg indekser (eller individuelle aksjer) ved bruk av en relativt lang tidsserie har vært mer effisient enn hele indeksen som sådan. Dette er et robust funn. Det er også vist at rebalansering av en minimumvarians-portefølje kan være lønnsomt, forutsatt at meravkastning avveies mot økte transaksjonskostnader. Undersøkelsen indikerer at aktiv forvaltning av enkeltselskaper eller sektorindekser både med og uten rebalansering kan være mer lønnsomt enn å holde de respektive referanseindekser.

Appendiks Shortsalg i Norge

Negative porteføljevekter impliserer shortsalg. Det vil si å selge et aktivum man ikke eier selv, for eksempel en aksje. Strategien benyttes dersom investoren tror at verdien på aktivumet faller. For eksempel, en investor selger en lånt aksje til markedspris kr 100. Ett år senere har prisen falt til kr 80. Aksjen kjøpes da tilbake i markedet, og investoren får en gevinst på kr 20. Ved udekket shortsalg har selgeren ikke tilgang til aksjen når han selger, men planlegger å skaffe seg denne før levering. Dette er ikke tillatt i Norge og i EU. Dekket shortsalg er tillatt, som innebærer at selgeren har lånt aksjen hos noen andre før han selger den. Finansinstitusjoner tilbyr aksjer for shortsalg, hvor meglere sitter med lister over tilgjengelige aksjer for utlån. Det påløper normalt gebyrer samt aksjespesifikke rentekostnader.

Referanser

Clarke, R., H. De Silva & S. Thorley. 2006. «Minimum-variance portfolios in the U.S. equity market.» The Journal of Portfolio Management, s. 10–24.

Davison, R. 2014. Quantitative Finance. A Simulation-Based Introduction Using Excel. Taylor and Francis Group.

Haugen, R. A. and N. Baker. 1991. «The effcient market ineffciency of capitalizationweighted stock portfolios.» The Journal of Portfolio Management, s. 35–40.

Jagannathan, R. and T. Ma. 2003. «Why Imposing the Wrong Constraints Helps.» The Journal of Finance, 58(4), s. 1651–1683.

Jorion, P. 1985. «International Portfolio Diversification with Estimation Risk.» The Journal of Business, 58/3, s. 259–278.

Mandelbrot, B. B. 2004. The (mis)behavior of markets. A fractal view of financial turbulence. Basic Books, New York.

Markowitz, H. M. 1952. «Portfolio Selection.» The Journal of Finance 7 (1), s. 77–91.

Scherer, B. 2010. A New Look at Minimum Variance Investing. Available at SSRN: https: //ssrn:com/abstract = 1681306.

1Oslo Børs Aksjeindeks inneholder alle noterte aksjer på Oslo Børs og er justert for utbytte.
2Oslo Børs Hovedindeks OSEBX inneholder et representativt utvalg av alle noterte aksjer på Oslo Børs. Indeksen revideres halvårlig og endringene i OSEBX er justert for utbytte.
3Takk til John Christian Langli for tips om stabilitetstesting samt råd for å øke artikkelens lesbarhet og tilgjengelighet, samt til Marit Rokkones for grundig korrektur.
4Prosenter representeres ved desimaler. For eksempel, 5 % skrives som 0,05.
5Egentlig er telleren i SR det som kalles risikopremien, dvs. forventet avkastning minus risikofri rente. Her brukes begrepet uten risikofri rente.
6Her brukes en tilnærming hvor antakelsen er at avkastning er en uavhengig og identisk fordelt variabel med konstant varians. Som nevnt holder ikke dette i praksis, derfor er gyldigheten begrenset til å representere et gjennomsnitt for utvalget.
7Jf. kapitalverdimodellen.

Idunn bruker informasjonskapsler (cookies). Ved å fortsette å bruke nettsiden godtar du dette. Klikk her for mer informasjon