Oppgrader til nyeste versjon av Internet eksplorer for best mulig visning av siden. Klikk her for for å skjule denne meldingen
Ikke pålogget
{{session.user.firstName}} {{session.user.lastName}}
Du har tilgang til Idunn gjennom , & {{sessionPartyGroup.name}}
<Digital samhandlingKapittel 16 av 21

15. Korleis kan ein lærar vurdere matematikkoppgåver i digitale oppgåvedatabasar?

Frode Opsvik er førstelektor i matematikkdidaktikk ved Høgskulen i Volda. Han har erfaring frå tverrfagleg klasseromsforsking og underviser matematikk i lærarutdanningane.

Odd Helge Mjellem Tonheim er høgskulelektor i matematikkdidaktikk, Høgskulen i Volda. Han har undervist i matematikk i lærarutdanningane og har forskingserfaring knytt til mellom anna tekstoppgåver.

Kim André Stavenæs Refvik er stipendiat i matematikkdidaktikk ved Høgskulen i Volda. Han har erfaring med undervisning i matematikk i grunnskulen og har i dei siste åra undervist i matematikk og programmering i lærarutdanningane.

Bruken av oppgåver i matematikkfaget har vore gjenstand for diskusjonar i fleire år. Dei siste åra har bruken av digitale oppgåvedatabasar auka. Med utgangspunkt i eit eksisterande analyseverktøy presenterer vi i denne artikkelen eit verktøy som er tilpassa til å vurdere oppgåver i digitale oppgåvedatabasar. Dette er meint til bruk for lærarar når dei skal sette seg inn i oppgåvene i databasane. Vi tek utgangspunkt i Kikora og Multi Smart Øving når vi presenterer og drøftar analyseverktøyet.

NØKKELORD: matematikk, matematikkoppgåver, grunnskulen, digitale oppgåvedatabasar, digitalisering

The use of tasks in school mathematics has been debated for several years, and in recent years digital exercise databases have become more relevant. Based on an existing framework, in this chapter we present an analytical tool adapted for assessment of tasks in digital exercise databases. The analytical tool is intended for use by teachers when they are familiarizing with the tasks in the databases. We use the databases “Kikora” and “Multi Smart Øving” when presenting and discussing the analytical tool.

Bakgrunn

Oppgåver har ei sentral rolle i skulefaget matematikk. Stieg Mellin-Olsen (1990, s. 47) brukte omgrepet oppgåvediskurs til å omtale korleis lærarar ordla seg om sin eigen praksis. Han karakteriserte faget som ein serie med matematikkoppgåver som elevane skulle arbeide seg igjennom. Denne tradisjonelle måten å forstå matematikkfaget på, som eit oppgåveparadigme (Skovsmose, 2001), har lenge møtt kritikk. Alternative tilnærmingar til undervisninga har vorte foreslått gjennom til dømes «undersøkelseslandskap» (Skovsmose, 2003) og «inquiry» (Carlsen & Fuglestad, 2010), der utforsking, diskusjon, utveksling og utvikling av idear er meir sentralt enn oppgåveløysing. Eit stort fokus på løysing av oppgåver kan føre til ei instrumentell forståing (Skemp, 1976) og føre til at elevane utviklar læringsstrategiar som Mellin-Olsen (1981, s. 351) definerer som instrumentalisme. Ifølgje Skemp (1976) er det heller den relasjonelle forståinga, som går ut på å forstå meininga bak reglane i matematikken, som er den viktige.

Arbeid med oppgåver er framleis ein omfattande aktivitet i matematikkundervisninga i skulen, der over 60 % av tida kan gå med til dette (Eikrem, Grimstad, Opsvik, Skorpen & Topphol, 2012, s. 86). Det er difor viktig at lærarar har eit medvite forhold til kva slags oppgåver elevane skal arbeide med, og aktivt kan vurdere læringspotensialet i oppgåvene. Digitale ressursar er i større grad enn tidlegare tilgjengelege for lærarane, og fleire forlag har utvikla digitale oppgåvedatabasar som eit supplement til læreverka. Multi Smart Øving er eit døme på ein slik database, og Kikora er eit døme på eit heildigitalt læreverk som inkluderer ein oppgåvedatabase. I denne artikkelen ser vi på korleis lærarar kan vurdere oppgåvene som er tilgjengelege i slike digitale oppgåvedatabasar. Ei slik vurdering bør verte gjort med støtte frå eit analyseverktøy, som gir viktige kategoriar og moment som vurderinga baserer seg på. Vi tek utgangspunkt i eit eksisterande analyseverktøy og tilpassar dette til ein norsk kontekst. Analyseverktøyet viser kva læraren bør analysere når han eller ho vurderer dei digitale oppgåvene, for å kunne seie noko om læringspotensialet. Dette arbeidet er ikkje avgrensa til sjølve oppgåveteksten. For å konkretisere korleis ein lærar kan bruke analyseverktøyet, viser vi korleis utvalde oppgåver frå Multi Smart Øving og Kikora kan verte vurderte.

Digitale oppgåvedatabasar, eller «elektroniske træningsdatabaser» som Skott, Skott, Jess og Hansen (2018, s. 489) kallar det, er ein internettressurs for undervisning og læring av matematikk. Desse kan vere ulikt utforma (Skott et al., 2018), og dei som er aktuelle for oss, er databasar som har mange oppgåver som det er meint elevane skal løyse, derav namnet digitale oppgåvedatabasar. Slike digitale oppgåvedatabasar er stadig meir brukte i matematikkundervisninga i norske klasserom. Alle som lagar ei oppgåve i matematikk, har eit formål med oppgåva. Lærebokforfattaren har sitt formål når han lagar ei oppgåve, ein lærar kan ha eit anna mål, og om ein elev lagar oppgåver, har også eleven eit formål med oppgåva (Mason & Johnston-Wilder, 2004). Men kva som er målet til han eller ho som lagar oppgåva, varierer, og det gjer også korleis lærarane bruker oppgåva, og korleis elevane oppfattar henne. Dermed vert forfattaren sitt formål med ei oppgåve, læraren sin intensjon med ei oppgåve og forventingane elevane har til ei oppgåve, ikkje alltid samsvarande (Mason & Johnston-Wilder, 2004). Ein digital oppgåvedatabase har eit stort og rikt omfang av oppgåver, og no spelar også programmeraren ei rolle for matematikkoppgåva. Kva er programmeraren sitt mål med oppgåva?

Figur 15.1.

Modell over TPACK, henta frå Mishra (2019, s. 77).

Digitale verktøy har lenge vore ein del av matematikkfaget, men det er først dei siste åra at digitale oppgåvedatabasar har vorte mykje brukte i undervisninga. Digitale oppgåvedatabasar aktualiserer TPACK-modellen (Koehler & Mishra, 2009; Mishra, 2019; Mishra & Koehler, 2006). TPACK-modellen er ein måte å kategorisere ulik kunnskap som er aktuell for lærarar og andre som arbeider med digitale verktøy, på. Til dømes treng ein didaktisk kunnskap (PK), fagkunnskap (CK) og teknologisk kunnskap (TK). Vidare vil desse til dels overlappe kvarandre, og der alle overlappar kvarandre, får vi det som Mishra og Koehler (Koehler & Mishra, 2009; Mishra, 2019; Mishra & Koehler, 2006) kallar Technological Pedagogical Content Knowledge (TPACK). Det handlar altså om å dra saman det beste av alle tre delane og utnytte både det ein kan didaktisk, fagleg og teknologisk til å fremje læringa til elevane. Ifølgje Mishra og Koehler handlar dette om «pedagogical techniques that use technologies in constructive ways to teach content» (Koehler & Mishra, 2009, s. 66).

Ein kan argumentere for at ved digitale oppgåvedatabasar vert den teknologiske kunnskapen mindre vesentleg, då desse databasane er bygde opp for at elevane skal kunne løyse oppgåvene utan noko særleg teknologisk kjennskap til enkeltprogram. På den måten kan databasen likne ei oppgåvebok. Samstundes vil slike oppgåvedatabasar ha eit visst teknologisk fokus. Først og fremst fordi elevane løyser oppgåvene på ein datamaskin, og om læraren ikkje har kjennskap til dei digitale moglegheitene i den aktuelle databasen, så kan dét verke avgrensande. Det kan også vere ei utfordring at dei som har programmert oppgåvedatabasen, legg større vekt på den teknologiske kunnskapen og gløymer den pedagogiske og didaktiske (PK) og faglege kunnskapen (CK). Ifølgje mellom andre Koehler og Mishra (2009) er også desse kunnskapane viktige for læraren å ta omsyn til. I ein digital oppgåvedatabase er det programmeraren som avgjer kva som er rett og feil svar på ei oppgåve. Det kjem vi tilbake til seinare.

TPACK-modellen vart oppdatert i 2019, og legg no meir vekt på den kontekstuelle kunnskapen (XK) Mishra (2019). I dette omgrepet ligg alt ifrå læraren sin kjennskap til tilgjengeleg teknologi, kunnskap om skulen til politiske føringar med meir. Knytt til digitale oppgåvedatabasar handlar det om å ha kjennskap til dei ulike databasane som finst, og skilje moglegheitene i desse frå kvarandre. Altså akkurat det denne artikkelen handlar om, nemleg å vurdere oppgåver frå ulike digitale oppgåvedatabasar.

Analyseverktøyet

Dei digitale moglegheitene gir han eller ho som utformar matematikkoppgåver, nye moglege innfallsvinklar, både med tanke på sjølve utforminga av oppgåva, løysingsmetodar som er tilgjengelege for eleven, korleis svara skal verte presenterte, med meir. Ein kan sjå for seg scenario der teknologien styrer, og at matematikken dermed mister fokuset. Eller eit scenario der det matematikkfaglege innhaldet avgrensar dei teknologiske moglegheitene. Ei tredje moglegheit er at ein kan tenke seg at dei digitale moglegheitene opnar opp for ein ny måte å arbeide med det matematiske innhaldet på. Om ein kombinerer dei digitale moglegheitene med den faglege og didaktiske kunnskapen (TPACK-modellen), og på denne måten hjelper elevane til å lære meir og betre matematikk, så er ein på rett veg. Berger (2011) peikar på at handlingsmoglegheitene i ei matematikkoppgåve som er meint løyst ved hjelp av digitale hjelpemiddel (databaserte matematikkoppgåver), gir nye innfallsvinklar som er spennande og utfordrande.

Det er mange moglege analyseverktøy å ta utgangspunkt i. I dette arbeidet har vi valt å ta utgangspunkt i eit analyseverktøy som er utvikla av Margot Berger (2011). Analyseverktøyet til Berger består av fire kategoriar: matematisk fokus, tekniske krav, kognitive krav og bruk av det digitale verktøyet sine handlingsmoglegheiter. Berger har utvikla sin modell for digitale matematikkoppgåver der han eller ho som løyser oppgåva, må nytte ei programvare designa for matematisk analyse, som til dømes Computer Algebra System (CAS), GeoGebra, rekneark, grafisk kalkulator osb. (Berger, 2011, s. 112). For vår del vert det digitale noko annleis, då det ikkje nødvendigvis er snakk om å nytte ei digital programvare for å løyse oppgåvene. Elevane kan bruke papir og blyant til å løyse oppgåva, men konteksten er at oppgåva vert presentert digitalt. I den digitale databasen kan det vere ulike dynamiske moglegheiter til å manipulere til dømes figurar digitalt, til å formulere svaret digitalt og få direkte tilbakemelding på om svaret er rett eller gale. Vi ser altså på oppgåver der mange av dei digitale vala ikkje er tatt av læraren, men av han eller ho som har programmert den digitale oppgåvedatabasen. Dette aukar behovet for at læraren må inneha digital kompetanse (TK i TPACK-modellen (Mishra, 2019; Mishra & Koehler, 2006)) for å vurdere dei digitale moglegheitene, avgrensingane og problema som kan liggje der.

Kognitive krav

Stein, Smith, Henningsen og Silver (2000, 2009) delte dei kognitive krava eleven står overfor i ein aktivitet eller ei oppgåve, i fire kategoriar. Dei skil mellom låge kognitive krav som er knytte til memorering og prosedyrar utan samanheng, og høge kognitive krav som er knytte til prosedyrar med samanheng og matematisk tenking. Dei hevdar at punkta under kan vere med og avgjere på kva nivå oppgåva er på, ut frå kva kognitiv innsats det krev av elevane. Det er viktig å ikkje berre sjå på oppgåva, men også tenke igjennom for kva elever oppgåva er tenkt for. Punkta under bygger på Stein, Smith, Henningsen og Silver (2000, s. 16) sin tabell «The Task Analysis Guide»:

  1. Memorering Kjenneteikna på ei oppgåve på dette nivået:

    • Reproduksjon av fakta, reglar, formlar og definisjonar utan samanhengar til underliggande omgrep

    • Oppgåver som ikkje kan løysast med ein prosedyre fordi der ikkje er ein prosedyre, eller svartida er for kort til å bruke ein prosedyre

    • At oppgåva ikkje er tvitydig

  2. Prosedyrar utan samanhengar Kjenneteikna på ei oppgåve på dette nivået:

    • Algoritmar og bruk av prosedyrar som det er bede om

    • Lite tvitydig

    • Ingen samanheng med underliggande prosedyrar

    • Vekt på riktig svar, i staden for utvikling av matematisk forståing

    • Inga forklaring er kravd for løysinga

  3. Prosedyrar med samanhengar Kjenneteikna på ei oppgåve på dette nivået:

    • Fokus på forståinga av ein prosedyre og dei underliggande matematiske omgrepa

    • Følger ein progresjon som er knytt til ein konseptuell idé

    • Er ofte representert på ulike måtar

    • Krev kognitiv innsats

  4. Matematisk tenking Kjenneteikna på ei oppgåve på dette nivået:

    • Krev kompleks tenking

    • Krev utforsking og forståing for matematiske konsept, samanhengar og relasjonar

    • Krev ein større kognitiv innsats

    • Krev analyse av oppgåva og ei undersøking av forhold som kan avgrense løysingar eller strategiar

Stein mfl. (2000) peikar på at nivå 1 og 2 i denne lista er oppgåvetypar med låge kognitive krav, medan nivå 3 og 4 er oppgåver med høge kognitive krav. Vi tenker dette meir som ein skala der nivå 1 er det lågaste kognitive kravet, medan nivå 4 inneheld dei høgste kognitive krava. Det er viktig å understreke at alle desse fire nivåa er relevante så lenge målet med oppgåvene er å lære matematikk, noko det i høgste grad er når ein nyttar digitale oppgåvedatabasar for å lære matematikk. Dermed vert dei fire nivåa her relevante å nytte inn i evalueringa av dei digitale oppgåvedatabasane.

Matematisk fokus

Ei digital matematikkoppgåve er ei oppgåve der det er meint å nytte digitale verktøy til å løyse oppgåva på eit eller anna nivå, og med digitale verktøy inkluderer vi digitale oppgåvedatabasar sjølv om du strengt tatt kunne løyst oppgåva med papir og blyant. Oppgåva er likevel bygd inn i ein digital kontekst. Løysinga av oppgåva er avgrensa til ei digital eining, nemleg det som programmeraren har tenkt og programmert (Berger, 2011). Ei matematikkoppgåve har, ifølgje Mason og Johnston-Wilder (Mason & Johnston-Wilder, 2004) som formål å sette i gang ein aktivitet som bidrar til ein transformasjon hos elevane. I aktivitetane arbeider og konstruerer elevane fysiske, mentale eller symbolske objekt som er knytte til eit matematisk fokus. Hovudpoenget med aktiviteten er å få eleven til å tenke meir over viktige omgrep i matematikk slik at dei skil mellom relevante omgrep, kjenner att eller utvidar omgrep i matematikk og set dei i relasjon til kvarandre. Oppgåva har som intensjon å rette eleven mot eit spesifikt matematisk omgrep eller ein prosess (Berger, 2011). For å kunne vurdere korleis denne oppgåva verkar inn på læringa til elevane, må læraren kunne identifisere det matematiske formålet oppgåva har, utover at ein programmerar har plassert oppgåva i til dømes kategorien geometri.

Figur 15.2.

«Instrumental genesis» henta frå Trouche (2004, s. 289).

Tekniske utfordringar

Teknikken spelar ikkje alltid på lag, og her må vi gå djupare inn i teorien for å kome vidare. Instrumentteorien ser på instrument som vert nytta for å lære matematikk på to ulike måtar: «instrumentation» eller «instrumentalization» (Trouche, 2004). Instrumentation er når reiskapen (her tenkt det digitale verktøyet) formar subjektet (eleven), og vidare er instrumentalization når subjektet (eleven) formar reiskapen.

Skilnaden her ligg altså i om det er verktøyet som formar eleven, eller elevane som formar instrumentet. Eit døme her kan vere kabalen «solitaire». Han eller ho som har lagt denne med kort, vil truleg vere einig i at kabalen har gått opp når alle korta ligg med tala/bileta opp, slik som det er til venstre i figur 15.3. Men om du legg den same kabalen på Microsoft sin app «Microsoft Solitaire Collection», så er du ikkje ferdig før du har flytta alle korta opp på dei fire bunkane som byrjar med ess, slik som til høgre i figur 15.3. Først då får du opp at du har greidd det. Her bidrar altså programmet til at kabalen endrar fokus til at du som brukar må gjere meir. Altså instrumentet formar brukaren. Dette kan overførast til digitale oppgåvedatabasar, der svara eleven gir, må vere førehandsprogrammerte for at den digitale databasen skal kjenne att det som eit rett svar.

Figur 15.3.

Til venstre er det ein skjermdump frå ein Solitaire-kabal som ein normalt tenker er gått opp / ferdig, til høgre er det ein skjermdump av Solitaire-kabal som dataprogrammet tenker har gått opp. Skjermdumpane er henta frå Microsoft (2019).

Slike tekniske utfordringar i ein analyse av oppgåver i digitale oppgåvedatabasar vil ikkje handle om korleis elevane kan nytte andre typar program som til dømes GeoGebra eller rekneark, men meir om til dømes kva han eller ho som har programmert dei ulike oppgåvedatabasane, har tenkt er rett svar, og om fleire alternative svar kunne vore moglege.

Handlingsmoglegheiter

Ifølgje Cazes, Gueudet, Hersant og Vandebrouck (2006) bygger elektroniske oppgåver opp eit miljø for å hjelpe elevane. Dette miljøet dreier seg om kva handlingsmoglegheiter elevane har i digitale oppgåvedatabasar, og kva ulike moglegheiter som eksisterer i den digitale oppgåva. Miljøet og handlingsmoglegheitene består av tre delar: hjelp, venta svar og tilbakemelding (Cazes et al., 2006, s. 331). Hjelp som handlingsmoglegheit er hint eller hjelp som elevane får frå oppgåvedatabasen. Dette kan vere hjelp som tekst, illustrasjon, lyd, video eller hint i løysingsprosessen. I vurderinga av oppgåva er det viktig å analysere kva hjelp elevane får frå programmet.

Det venta svaret (Cazes et al., 2006) i oppgåvene er avgrensa av dei tekniske moglegheitene i systemet. Det kan vere ei oppgåve med fleire svaralternativ, numerisk eller algoritmisk svar, eller ein geometrisk figur. Fleirvalsoppgåver er oppgåver som gir fleire svaralternativ der eitt eller fleire av desse er det korrekte svaret. Oppgåver som krev eit numerisk eller algoritmisk svar, er på ei form der eleven først må gjennomføre oppteljing eller rekning i hovudet eller på papir for så å skrive inn svaret. Å svare med ein geometrisk figur inneber at eleven nyttar seg av eit innebygd program der han kan teikne eller konstruere geometriske figurar som eit svar på oppgåva. Det er viktig å tenke på korleis eleven skal svare på oppgåva når ein analyserer oppgåver frå ein digital oppgåvedatabase.

Figur 15.4.

Skjermbilete henta frå multi.smartoving.no med våre forklaringar.

Når elevane har forsøkt å løyse oppgåva, vil programmet analysere svaret og gi elevane ei tilbakemelding (Cazes et al., 2006). Tilbakemeldinga til eleven vil avsløre om svaret er rett eller feil, og i nokre tilfelle kan programmet gi ei kort eller lengre tilbakemelding. Hovudmålet med tilbakemeldinga bør vere å bringe eleven framover, og denne er derfor viktig i analysen av oppgåvedatabasen. Det er programmeraren som avgjer kva tilbakemelding elevane får, og dette er difor plassert under handlingsmoglegheiter. Det handlar altså om konteksten tilbakemeldinga er plassert inn i (Cazes et al., 2006).

Oppgåvedatabasar

I det følgjande viser vi døme på korleis analyseverktøyet kan verte brukt til å kategorisere fire oppgåver henta frå Kikora og Multi Smart Øving. Først vil vi sjå nærmare på desse digitale oppgåvedatabasane.

Multi Smart Øving

Multi Smart Øving er laga av Gyldendal Undervisning og er eit supplement til lærebøkene Multi frå første til sjuande trinn (Multi Smart Øving, u.å.). Denne digitale oppgåvedatabasen bruker eit adaptivt system der oppgåvene vert tilpassa kvar enkelt elev ut ifrå korleis dei svarer på dei ulike oppgåvene i systemet. Figur 15.4 er eit døme på korleis ei typisk oppgåve i Multi Smart Øving kan sjå ut.

Kikora

Kikora er laga av Eldur Learning AS og er eit heildigitalt læreverk frå femte årstrinn til og med Vg3 (Kikora, u.å.). Denne digitale oppgåvedatabasen inneheld mange oppgåver som elevane anten vel sjølve eller vert tildelte av læraren. Figur 15.5 er eit døme på korleis ei typisk oppgåve i Kikora kan sjå ut.

Figur 15.5.

Skjermbilete henta frå kikora.no med våre forklaringar.

Bruk av analyseverktøyet

I det følgjande viser vi døme på korleis analyseverktøyet kan brukast til å kategorisere fire oppgåver henta frå Kikora og Multi Smart Øving.

Figur 15.6.

Oppgåve i kategorien «Memorering» henta frå Multi Smart Øving.

Oppgåva i figur 15.6 er eit døme på ei oppgåve med låge kognitive nivå og memorering. Det matematiske fokuset er retta mot ulike omgrep på vinklar. Det matematiske fokuset i denne oppgåva er å hugse eit omgrep frå geometri og har som eit mål å rette elevane inn mot eit særskilt omgrep i geometrien. I dette tilfellet er det ikkje nødvendig med verken prosedyre eller digitale ferdigheiter for å løyse oppgåva. Det einaste det digitale bidrar med, er å gi tilbakemelding på om det er rett eller feil svar. Elevane kan berre løyse denne oppgåva med å velje riktig svar blant dei ulike alternativa som vert oppgitte i denne fleirvalsoppgåva. Ved feil svar får eleven melding om at dette ikkje er riktig, av ein figur som dukkar opp i skjermbiletet. I denne oppgåva er det er verdt å merke seg at elevane kan svare ved å trykke inn alle alternativa og få ei tilbakemelding på kva alternativ som er gale, og velje bort desse, altså opnar handlingsmoglegheitene i denne oppgåva for at det er enkelt for eleven å finne det rette svaret utan å i det heile ha lese oppgåva. Om elevane svarer feil tre gonger, så vil dei verte sendt til ei ny oppgåve utan at dei får ei forklaring på kvifor svaret er galt. Dei andre handlingsmoglegheitene til elevane er å spørje om hjelp ved å klikke på spørsmålsteiknet. Der vil ein få ei forklaring på korleis ein gir svar til systemet.

Figur 15.7.

Oppgåve i kategorien «Prosedyre utan samanheng» henta frå Multi Smart Øving.

Oppgåva i figur 15.7 omhandlar omgrepet nabovinklar. Det er fleire ting som gjer dette til ei oppgåve med låge kognitive krav i kategorien «prosedyrar utan samanheng». Det første er at det er forventa at eleven skal nytte seg av ein kjent algoritme for å løyse oppgåva, og det er ikkje tvitydig kva som er forventa i denne oppgåva. Oppgåva krev ikkje noko vidare forklaring på kvifor og er ikkje noko knytt til underliggande omgrep. Elevane svarer med eit forventa svar på oppgåva ved å skrive inn ein numerisk verdi. Dette viser at ein har større fokus på rett svar, enn prosessen for å utvikle ein forståing for matematikken. Hjelpa elevane kan få i denne oppgåva, er korleis ein teknisk løyser oppgåvene, og dette får dei ved å klikke på spørsmålsteiknet.

Figur 15.8.

Oppgåve i kategorien «Prosedyre med samanheng» henta frå Kikora.

Oppgåva i figur 15.8 er eit døme på ei oppgåve i kategorien «prosedyre med samanheng». I denne oppgåva kan elevane nytte seg av kjente algoritmar for areal og omkrins. Oppgåva har eit forventa svar som eleven skal skrive inn for å få rett. I løysingsprosessen må ein her nytte seg av penn og papir, og det digitale bidrar såleis ikkje til å skape ein betre forståing av problemet. I denne oppgåva kan ikkje elevane nytte seg av hjelp, sjølv om systemet vanlegvis legg opp til bruk av hint. Elevane må svare nøyaktig etter kva som krevst, og det kan vere behov for at elevane får hjelp til å tolke tilbakemeldingane som systemet gir.

Figur 15.9.

Oppgåve i kategorien «Matematisk tenking» henta frå Kikora.

For oppgåva i figur 15.9 er det ingen kjend prosedyre som gir svaret. Elevane kan utforske utan å verte styrte av ein bestemt løysingsmåte. Ei utfordring er at det ikkje er mogleg å teikne kvadrata digitalt i denne oppgåva, noko som det kunne vore opna for med til dømes GeoGebra. Ei slik digital handlingsmoglegheit ville vore med på å hjelpe elevane i form av at dei kunne teikne kvadrat på kvadrat. Det at ein kan danne kvadrat som er rotert i forhold til det horisontale og vertikale rutemønsteret, gir oppgåva ekstra djupne. Dersom eleven gjer den ekstra utfordringa som oppgåva legg opp til, og ser etter samanhengar og system i denne utvidinga, vert dette ei oppgåve som legg opp til matematisk tenking (Stein et al., 2000, 2009). Det er mogleg å oppdage mønster knytt til summar av kvadrattal som delar av utforskinga.

Drøfting

Med utgangspunkt i TPACK-modellen (Koehler & Mishra, 2009; Mishra, 2019; Mishra & Koehler, 2006) vil ein kunne sjå på korleis teknologien i digitale oppgåvedatabasar både kan avgrense og utvide dei pedagogiske moglegheitene og det matematiske innhaldet. Ser ein oppgåvene berre frå det teknologiske perspektivet, vil ein kunne hevde at oppgåvene ikkje er med på å tilføre noko som kan bidra til ei betre teknologisk forståing for elevane. Eit mål med å bruke det teknologiske må vere at ein kan tilføre nye sider ved ei oppgåve. For at elevane skal kunne bruke digitale program i utviklinga av ulike omgrep i matematikk, så vert det kravt at eleven kan bruke det som ein reiskap for å finne samanhengar og utforske oppgåvene. I digitale oppgåvedatabasar vil elevane nytte det som eit verktøy for oppgåver, på lik linje med ei lærebok. Dei digitale oppgåvedatabasane bidrar kanskje til eit meir aktivt elevarbeid. Elevane vil i større grad arbeide meir sjølvstendig med oppgåvene. Dei nyttar seg av hjelpefunksjonane til programmet og får raskt ei tilbakemelding på om svaret er riktig, eller om ein er på veg til eit riktig eller galt svar. Det betyr at den digitale oppgåvedatabasen i seg sjølv har eit større fokus på det rette svaret enn prosessen (Stein et al., 2000). Læraren vert då ein endå viktigare person for å hjelpe elevane til å gjennomføre og forstå prosessen. Denne prosessen, eller aktiviteten, er jo heile poenget med å arbeide med oppgåver i matematikk, eleven må aktivt prøve å skape meininga bak oppgåva og fenomenet (Mason & Johnston-Wilder, 2004).

Det matematiske fokuset i digitale oppgåvedatabasar omhandlar i desse eksempla geometri. Majoriteten av oppgåvene vi har sett på, er knytt til forståing av omgrep eller trening på prosedyrar. Vi vil hevde at oppgåvene bidrar til at det matematiske fokuset vert retta mot eit ferdig produkt, i staden for ein fokus på ein prosess. Det er viktig å tenke på kva ei matematisk oppgåve er, og kva målet med ho er. Mason og Johnston-Wilder (2004) viser til at målet med ei matematisk oppgåve er at det skal skje ein transformasjon hos elevane. Elevane skal lære seg nye omgrep eller utvide eksisterande omgrep.

Definisjonen Stein mfl. (2000) har av kognitive krav til matematikkoppgåver og -aktivitetar, er eit reiskap for lærarar som kan vere til hjelp i planlegging av undervisninga. Det er viktig å syne at matematikkundervisninga bør vere innom alle dei ulike kognitive nivåa, både mengdetrening og problemløysing er viktig deler av matematikkundervisninga. Matematikklærarar bør i sine refleksjonar tenke på korleis treninga skal gå føre seg i skulen. Mason og Johnston-Wilder (2004) syner at det kan vere ulikskapar i det tenkte formålet med oppgåva mellom forfattar, lærar og elev. Det som forfattaren har som formål med å skape ein utforskande oppgåve, ei oppgåve med høge kognitive krav, kan verte sett på av læraren som prosedyre med samanheng, og det kan faktisk oppfattast av eleven som ei oppgåve med låge kognitive krav. Kikora sine forfattarar legg til rette for at ein skal kunne skrive løysingsprosessen undervegs, og på den måten legge til rette for å utforske matematiske problem. Matematikklæraren kan sjå på dette som å jobbe med prosedyrar, både med og utan samanheng. Elevane kan ønske å verte raskt ferdig og tilfredsstille systemet, og dei kan derfor sjå heilt vekk frå det som var formålet med oppgåva. Cazes mfl. (2006) påpeikar akkurat dette i deira studie, der elevar ville gjere oppgåver i ein digital oppgåvedatabase raskt for å verte ferdige. Formålet med aktiviteten bør vere tydeleg mellom elev og lærar, slik at elevane ikkje berre oppfyller forventingane til programmet, men også oppfyller forventingane og formålet til læraren.

Med utgangspunkt i Trouche (2004) hevdar vi at digitale oppgåvedatabasar som Kikora og Multi Smart Øving er døme på verktøy som formar eleven, og ikkje eleven som formar verktøyet. Systema vil ikkje kunne formast av elevar som eit verktøy for å kunne bygge på eksisterande forståingar av omgrep eller lære seg nye. Dette er noko ein må ta omsyn til når ein skal vurdere oppgåver frå slike digitale oppgåvedatabasar.

Handlingsmoglegheita til elevane kan avgrense det kognitive nivået i oppgåva. I Multi Smart Øving oppstår det to former for hjelp. Det første som ein kjem over, er eit spørjeteikn øvst til høgre i brukargrensesnittet. Hjelpa her er i form av tekst. Den andre forma for hjelp er videoar som dukkar opp med når ein treffer nye oppgåvetypar. Videoane forklarar korleis eleven skal svare på oppgåva. Hjelpa i programmet er difor retta mot korleis ein teknisk løyser oppgåvene, og ikkje til hjelp for sjølve løysingsprosessen til elevane. Kikora si hjelp er i form av eit nøkkelikon som gir elevane hint om prosessen vidare i løysinga, og videoar som skal illustrere korleis ein teknisk løyser oppgåvene. Om elevane skal få nytte seg av nøkkelikonet, vel læraren. Med hjelpa der kan elevane velje å få heile prosessen og svaret. Hjelpa leiar elevane mot den korrekte løysinga på oppgåva. Ein kan sjå at det er likskapar i programma, begge har videoar som er med på å forklare korleis elevane skal løyse oppgåva teknisk. Dette talar for ei tenking der produktet vert trekt fram som det viktigaste i matematikk. Dette vil ifølgje Skemp (1976) tale for ei instrumentell forståing.

Vidare kan vi sjå at den same tanken kan støttast av det forventa svaret i oppgåvene. I Multi Smart Øving sine oppgåver er det tydeleg at programmet er på jakt etter eit riktig svar og setter prosessen til sides. I Kikora vil ein kunne sjå at det er betre lagt rette for meir tenking rundt prosessen. Elevane kan, i tillegg til å kome fram til det forventa svaret, skrive ei steg for steg-løysing på oppgåva. Det vert lagt opp til oppgåver der det forventa svaret er eit av svaralternativa til ei oppgåve, numeriske eller algebraiske svar, eller geometriske figurar. For å auke fokuset på prosessen må læraren legge til rette for dette. Ifølgje Berger (2011) vil blyant og papir kunne vere ein del av løysingsprosessen til oppgåva som det må leggjast til rette for av læraren. Læraren si rolle i arbeidet er sentral for å kunne oppnå eit høgare kognitivt nivå på læringsaktiviteten.

Tilbakemeldinga på oppgåva er sjølve vurderinga av svaret frå eleven. Elevar har ofte utfordringar med å tolke kva denne tilbakemeldinga er (Abboud-Blanchard, Cazes & Vandebrouck, 2013). I Multi Smart Øving kan ein sjå at tilbakemeldingar på feilsvar ofte ikkje gir eleven ei rettleiing på kva som ikkje stemmer. Det er viktig å peike på at programmet berre vurderer svaret som eleven har kome med. Ser ein på Kikora, vil ein kunne få tilbakemeldingar på prosessen, og om ein er på riktig veg eller ikkje, og at programmet vurderer det endelege svaret. Tilbakemeldingane i prosessen gir ikkje noko rettleiing om kva som kan vere riktig veg vidare. Programmet gav i nokre tilfelle ei påminning om bruk av måleeiningar, og i den samanhengen var det ikkje mogleg å gi svaret på ei anna form enn det som vart gitt. Dette kan bidra til at elevar får utfordringar med å tolke tilbakemeldingane som programmet gir (Abboud-Blanchard et al., 2013).

Elevar sine tankemønster i arbeidet kan verte avgrensa av handlingsmoglegheitene. Elevar tenker ikkje matematisk av seg sjølv, det er det læraren som må få fram (Cazes et al., 2006; Clements, 2003). Elevar vil i størst mogleg grad berre tilfredsstille det som den digitale oppgåvedatabasen vil ha som forventa svar, og elevane har som oftast ingen intensjon i å lære seg det underliggande matematiske innhaldet. Når dei får rett svar i ei slik oppgåvedatabase, så går dei jo vidare til ei ny oppgåve. Her vert lærarrolla særs viktig. Læraren må vere kjend med ulike elevstrategiar som vert nytta i arbeidet med digitale oppgåvedatabasar i matematikk, og kunne legge opp til at aktiviteten går over til å verte meir fokus på prosess (Cazes et al., 2006).

Med utgangspunkt i TPACK-modellen (Mishra, 2019; Mishra & Koehler, 2006) vil vi hevde at læraren er den viktigaste faktoren i planlegging av matematikkaktivitetar. Læraren legg den faglege kunnskapen, den pedagogiske kompetansen og teknologiske kompetansen til grunn når det skal reflekterast over korleis matematikkundervisninga skal skje. Det er viktig å kjenne til dei digitale oppgåvedatabasane, og sjå dei i samanheng med eigen pedagogisk og faglege kunnskap. Kjennskapen til kva som bidrar til å betre forståing hos elevane, og kva som kan vere eit hinder i utviklinga, er nøkkelen i TPACK-modellen (Koehler & Mishra, 2009; Mishra, 2019; Mishra & Koehler, 2006), og derfor ein viktig reiskap for læraren.

Verktøyet som er presentert i denne artikkelen, er tenkt som eit bidrag for å kunne reflektere over korleis val av oppgåver påverkar matematikkundervisninga. Dei digitale oppgåvedatabasane som vi studerer, gir tilbakemeldingar til elevane og vel også ut kva oppgåver elevane bør fortsette med i det vidare arbeidet. Oppgåvedatabasane grip altså inn i det som tradisjonelt har vore læraren si oppgåve på ein heilt annan måte enn papirbaserte oppgåver. Det er difor avgjerande å vurdere om måten dette vert gjort på, er kvalitativt god med tanke på eleven si læring og forståinga av kva matematikk er. Dei siste tiåra har ein arbeidd for å løfte fram prosessdelen av matematikkfaget og kva som er viktige kompetansar i matematikk (National Council of Teachers of Mathematics, 2014; Niss & Jensen, 2002). Dette vert tydeleg signalisert i fagfornyinga, der faget sine kjerneelement vert løfta fram (Utdanningsdirektoratet, 2018).

Spørsmålet er om digitale oppgåvedatabasar i si noverande form gir eit kvalitativt godt bidrag til å utvikle matematikkfaget i skulen i den retninga vi ønsker. Det er ein viss fare for at ein med desse databasane er i ferd med å gjenta dei feilgrepa som vart gjorde for femti år sidan med «programmert undervisning» eller «individually prescribed instruction», som Stanley Erlwanger advarte mot i 1973 i artikkelen «Benny’s conception of rules and answers in IPI mathematics» (Erlwanger, 1973). Ein har lenge oppmoda lærarar om å unngå kommunikasjonsformer i klasserommet som har ein IRE-struktur (initiate-response-evaluate) (Lampert, 1990; Mehan, 1979), då desse har avgrensa verdi knytt til dei metaprosessane som elevane bør engasjerast i. Mykje av kommunikasjonen mellom eleven og oppgåvedatabasen kan nettopp beskrivast som ein IRE-kommunikasjon. Det er også ein viss fare for at ein hamnar i ein traktkommunikasjon med ein Topaze-effekt (Brousseau, 1984), der eleven vert leia fram til rett svar av programmet gjennom hint utan at eleven sjølv aktivt er med på å løyse problemet. Vi skal ikkje felle nokon eintydig dom over dei to oppgåvedatabasane vi har studert, men det er grunn til å understreke kor viktig læraren si rolle er i oppfølginga av elevane sin læringsprosess. Oppgåvedatabasar kan vere nyttige til avgrensa delar av matematikkundervisninga, men dei bør ikkje vere det styrande og dominerande elementet når matematikkfaget no skal fornyast med auka fokus på kjerneelementa i faget.

Merknader

Forfattarane har ingen interessekonfliktar. Prosjektet DigiGLU ved Høgskulen i Volda har betalt for lisensane til programvarene Multi Smart Øving og Kikora.

Kjeldeliste

Abboud-Blanchard, M., Cazes, C., & Vandebrouck, F. (2013). Teachers’ Practices Using E-Exercise Bases in Their Classrooms. I: F. Vandebrouck (Red.), Mathematics Classrooms: Students’ Activities and Teachers’ Practices (s. 185–198). Rotterdam: Sense Publishers.

Berger, M. (2011). A framework for examining characteristics of computer-based mathematical tasks. African Journal of Research in Mathematics, Science and Technology Education, 15(2), 111123.

Brousseau, G. (1984). The crucial role of the didactical contract in the analysis and construction of situations in teaching and learning mathematics. I: H. G. Steiner (Red.), Occasional Paper 54: The theory of mathematics education (s. 110–119). Bielefeld: Institut für Didaktik der Mathematik.

Carlsen, M., & Fuglestad, A. B. (2010). Læringsfellesskap og inquiry for matematikkundervisning. Tidsskriftet FoU i praksis, 4(3), 39–60.

Cazes, C., Gueudet, G., Hersant, M., & Vandebrouck, F. (2006). Using E-Exercise Bases in Mathematics: Case Studies at University. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 11(3), 327–350.

Clements, D. H. (2003). Teaching and learning geometry. I: J. Kilpatrick, W. G. Martin & D. Schifter (Red.), A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics (s. 151–178). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Eikrem, B. O., Grimstad, B. F., Opsvik, F., Skorpen, L. B., & Topphol, A. K. (2012). Åleine eller saman? Ein studie av arbeidsmåtar i norsk, matematikk og engelsk. I: P. Haug (Red.), Kvalitet i opplæringa: arbeid i grunnskulen observert og vurdert (s. 77–100). Oslo: Det Norske Samlaget.

Erlwanger, S. H. (1973). Benny's conception of rules and answers in IPI mathematics. Journal of Children's Mathematical Behavior, 1(2), 7–26.

Kikora. (u.å.). Henta 13.05.2019 frå https://kikora.no/

Koehler, M. J., & Mishra, P. (2009). What is technological pedagogical content knowledge? Contemporary Issues in Technology and Teacher Education, 9(1), 60–70.

Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the soulution is not the answer: Mathematical knowing teaching. American Educational Research Journal, 27(1), 29–63.

Mason, J., & Johnston-Wilder, S. (2004). Designing and using mathematical tasks. St. Albans: Tarquin.

Mehan, H. (1979). Learning lessons. Social organisations in the classroom. Cambridge, MA/London: Harvard University Press.

Mellin-Olsen, S. (1981). Instrumentalism as an educational concept. Educational Studies in Mathematics, 12(3), 351–367.

Mellin-Olsen, S. (1990). Oppgavediskursen. I: G. Nissen & J. Bjørneboe (Red.), Matematikundervisning og Demokrati (s. 47–64). Roskilde: IMFUFA, Roskilde Universitetscenter.

Microsoft. (2019). Microsoft Solitaire Collection: Microsoft.

Mishra, P. (2019). Considering Contextual Knowledge: The TPACK Diagram Gets an Upgrade. Journal of Digital Learning in Teacher Education, 35(2), 76–78.

Mishra, P., & Koehler, M. J. (2006). Technological Pedagogical Content Knowledge: A Framework for Teacher Knowledge. Teachers College Record, 108(6), 1017–1054.

Multi Smart Øving. (u.å.). Henta 13.02.2019 frå https://multi.smartoving.no

National Council of Teachers of Mathematics (2014). Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for All. Reston, Va: National Council of Teachers of Mathematics.

Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udviklig af matematikundervisning i Danmark. København: Undervisningsministeriet.

Skemp, R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching, 77, 20–26.

Skott, J., Skott, C. K., Jess, K., & Hansen, H. C. (2018). Delta 2.0 Fagdidaktik (2. utg.). København: Samfundsliteratur.

Skovsmose, O. (2001). Ladscapes of Investigation. ZDM – Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 33(4), 123–132.

Skovsmose, O. (2003). Undersøgelseslandskaber. I: O. Skovsmose & M. Blomhøj (Red.), Kan det virkelig passe? – om matematiklæring (s. 143–157). København: L&R Uddannelse: Tjørnserien.

Stein, M. K., Smith, M. S., Henningsen, M. A., & Silver, E. A. (2000). Implementing standards-based mathematics instruction: a casebook for professional development. New York: Teachers College Press.

Stein, M. K., Smith, M. S., Henningsen, M. A., & Silver, E. A. (2009). Implementing standards-based mathematics instruction: a casebook for professional development (2 utg.). Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics Teachers College Press.

Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized learning enviroments: Guiding students` command process through instrumental archestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9, 281–307.

Utdanningsdirektoratet. (2018). Fagfornyinga: Høring – Læreplaner i matematikk. Utdanningsdirektoratet. Henta frå https://hoering.udir.no/Hoering/v2/343

Idunn bruker informasjonskapsler (cookies). Ved å fortsette å bruke nettsiden godtar du dette. Klikk her for mer informasjon