Oppgrader til nyeste versjon av Internet eksplorer for best mulig visning av siden. Klikk her for for å skjule denne meldingen
Ikke pålogget
{{session.user.firstName}} {{session.user.lastName}}
Du har tilgang til Idunn gjennom , & {{sessionPartyGroup.name}}

9. Lærers tilrettelegging for argument og agens

Førsteamanuensis i matematikkdidaktikk ved Høgskulen på Vestlandet. Rangnes´ forskningsinteresser er knyttet til kritisk matematikkdidaktikk, matematikksamtaler og flerspråklige læringsrom.

Fyrsteamanuensis i matematikkdidaktikk ved Høgskulen på Vestlandet. Herheim sine forskingsinteresser er knytte til kritisk-matematisk argumentasjon, IKT og matematikklæring og bruk av autentiske data i matematikkundervising.

Dette kapittelet handler om tilrettelegging for elevers argumenter og agens som del av demokratisk opplæring i matematikkundervisning. Agens handler om å påvirke, og delt agens studeres ut fra elevers og lærers initiativer til samtale og hvordan det får virkning for fortsettelsen. Søkelyset rettes mot lærerens grep for at elever skal kunne og ville ta agens, mot å identifisere åpninger som skapes for å ta agens, og hvordan lærer møter elevens evne til å ta agens. Vi undersøker hvordan argumenter utvikles ut fra lærers og elevers initiativ gjennom Toulmins argumentstruktur. Empirien er hentet fra et prosjekt der læreren la til rette for elevers arbeid med problemstillinger knyttet til trafikksikkerhet på elevenes skolevei. Vi ser på lærerens ytringer og grep i en plenumsdiskusjon der elevpresentasjoner blir diskutert. Det blir identifisert hvordan demokratisk opplæring i matematikk kan knyttes til lokalt engasjement, deltakelse i å utvikle argumenter og ved å erfare matematikk som del av det levde liv.

Nøkkelord: delt agens, argumentasjon og argument, Toulmin

In this chapter, the facilitation of students’ arguments and agency is regarded as an important part of democratic learning in mathematics teaching. Agency is about influencing, and shared agency is investigated by analyzing students’ and teacher’s talk initiatives and how these initiatives influence the succeeding interaction. The focus is on the teacher’s actions to facilitate students’ abilities and willingness to take agency, on identifying opportunities that are created for taking agency, and on how the teacher manages the students’ ability to take agency. We investigate the development of the teacher’s and students’ arguments by using Toulmin’s argument structure. The examples come from a project in which the teacher facilitated students’ work on problems related to traffic safety on their school road. The teacher’s utterances and actions in a plenary discussion are discussed. The chapter identifies ways in which democratic learning in mathematics can be linked to local engagement, to participation by the development of arguments, and to experiencing mathematics as an integrated part of the lived life.

Keywords: shared agency, argumentation and arguments, Toulmin

9.1 Bakgrunn og fokus

I formålsparagrafen for skolen er verdier knyttet til demokratisk opplæring tydelige: «Elevane og lærlingane skal utvikle kunnskap, dugleik og haldningar for å kunne meistre liva sine og for å kunne delta i arbeid og fellesskap i samfunnet. Dei skal få utfalde skaparglede, engasjement og utforskartrong» og «Elevane og lærlingane skal lære å tenkje kritisk og handle etisk og miljøbevisst. Dei skal ha medansvar og rett til medverknad» (§ 1-1. Formålet med opplæringa). Det løftes fram at elevene i norsk skole skal utvikle kunnskaper, ferdigheter og holdninger for å kunne delta i fellesskapet i samfunnet, og de skal lære seg å tenke kritisk og handle etisk. De skal ha medansvar og rett til medvirkning. Det handler om levende demokrati i skolen, i alle fag, også matematikk.

I matematikkfaget har det vært tradisjon for at elever arbeider individuelt med oppgaveløsning der hver oppgave har ett rett svar. Mellin-Olsen (2009) beskriver det som en oppgavediskurs der reisemetaforer blir brukt for å beskrive elevers framdrift: Noen kjører på, alt går på skinner og de ligger et hestehode foran, mens andre blir hengende etter, sporer av eller blir stående på stedet hvil. I oppgavediskursen er det læreboken og oppgavene som bestemmer løpet. Alrø og Skovsmose (2002) beskriver det som absolutt byråkratisme der autoriteten ligger hos lærebøker og dens forfattere. Denne formen for matematikkundervisning kan oppfattes autoritær, en undervisning der hverken lærer eller elever har særlig autoritet eller rom for å påvirke, til å ta agens1.

Begrepet agens blir ofte brukt for å beskrive menneskers handlekraft og innvirkning på situasjoner. Det involverer å virke inn på en situasjon der det kan være ubalanse i en maktrelasjon. Et eksempel er dersom en elev argumenterer mot en lærer som i sin rolle er tildelt makt. I Herheim og Rangnes (2016) belyses sammenhenger mellom agens og det å argumentere, og vi skriver at å argumentere for seg selv eller andre er en handling som kan virke inn og bidra til endring og slik sett vitne om agens. En lærer kan legge til rette for elevers agens ved å oppfordre elever til å tenke kritisk og argumentere, og ved å la elevers argumenter få innflytelse på hva som skjer videre i undervisningen. Et argument blir en operasjonalisering av agens fordi agens blir synlig gjennom argumentene. Agens på sin side kan ses som et nødvendig vilkår for argumentering fordi argumenter både bygger på agens og springer ut ifra agens. Argument og agens kan derfor sies å være uløselig knyttet sammen (jf. Herheim & Rangnes, 2016), og er begge viktige forutsetninger for å bygge og vedlikeholde et levende demokrati.

9.2 Demokrati og matematikkundervisning

Aguilar og Zavaleta (2012) har identifisert tre ulike sammenhenger mellom matematikkundervisning og demokrati. Den første dreier seg om hvordan matematikkundervisning kan gi elevene matematiske ferdigheter til å kritisk analysere sine sosiale omgivelser og identifisere hvordan matematikk blir brukt i samfunnet. Forskning av for eksempel Herheim og Rangnes (2016), Greer, Verschaffelog og Mukhopadhyay (2007), Gutstein (2003) og Vithal (1999) viser hvordan elever gjennom prosjekter som handler om utfordringer i elevenes eget nærmiljø, handler som aktører. Matematikk brukes i argumenter for å kunne endre problemer i omgivelsene som elevene kjenner på kroppen.

Den andre sammenhengen handler om å se matematikkundervisning som en mulighet til å fremme verdier og holdninger som er vesentlige for å bygge og beholde demokratiske samfunn. Denne innfallsvinkelen har Ball, Goffney og Bass (2005) lagt til grunn i sitt arbeid med å finne hva som er vesentlig for en matematikklærer å kunne. Lærerens tilrettelegging for at elever deltar i matematikkdiskusjoner der de lytter til hverandre, har respekt for at medelever kan komme til andre svar enn sitt eget, og der elever lærer å stille spørsmål til andres løsninger, er problemstillinger av demokratisk karakter som Ball mfl. vektlegger.

Den tredje sammenhengen som Aguilar og Zavaleta har identifisert, er å anerkjenne at matematikkfaget kan fungere som en type sosialt filter som begrenser muligheten for utvikling og samfunnsdeltakelse for noen. Om elever ikke ser hva de skal bruke matematikk til fordi den er teoretisk og utenfor det som er knyttet til deres livsverden, kan det fungere som et sosialt filter som gjør at noen melder seg ut. Mellin-Olsen (1987) argumenterer for at hva som velges inn som innhold i skolematematikk, faktisk er et politisk anliggende. Hva som hører inn under skolematematikk, f.eks. om praktisk matematikk kan regnes for å være «ordentlig» matematikk, er en del av denne debatten.

Som vitenskapelig fag ble matematikk utpekt av Descartes som den mest objektive vitenskapen (Fosgerau, 1992). Da kan det være lett å tenke at skolematematikk også kan ses som objektiv og nøytral. I dette kapittelet stiller vi oss bak Skovsmoses utsagn om at «Matematikken er hverken god eller dårlig – og da slet ikke neutral» (Skovsmose, 2003, s. 229). Dette gjelder hvordan matematikk anvendes i samfunnet, og hvordan skolematematikk utformes og brukes politisk.

I dette kapittelet er det de to første sammenhengene mellom demokrati og matematikkundervisning som blir vektlagt. Den tredje, om matematikk som sosialt filter og det at matematikk ikke er et nøytralt fag, ligger som bakgrunn for vårt valg om å fokusere på lærers arbeid for å gjøre skolematematikk aktuell for sine elever ved å bruke matematikk i argumenter knyttet til en politisk debatt i nærmiljøet.

Vi ser læreren som viktig premissleverandør for hvordan elever utvikler holdninger og verdier som er vesentlige for demokratilæring. Læreren kan tilrettelegge situasjoner der elever utvikler matematiske ferdigheter for å kritisk analysere nærmiljøet og bruke dette i argumenter og demokratiske prosesser. I dette kapittelet rettes derfor søkelyset mot å undersøke hvordan lærer kan legge til rette for argumenter i matematikkundervisning der både elever og lærer har agens.

Dataene er fra et trafikksikkerhetsprosjekt på 8. trinn om en farlig skolevei. Læreren la til rette for praktisk arbeid med måling av støypekanter, trafikktelling, behandling av data og gruppepresentasjoner med etterfølgende diskusjoner i klassen. Oppdraget til elevene var å lage en presentasjon der argumentene skulle kunne brukes i offentlig debatt. For å svare på forskningsfokuset analyserer vi data fra gruppepresentasjoner med etterfølgende diskusjoner i plenum.

9.3 Agens og argument

Elevers agens eksisterer og avhenger av relasjoner til andre elever og lærer. Agens er ikke noe man kan få, men man kan ha agens, situasjoner kan tilrettelegges for å gi mulighet til å ta agens, og man kan utvikle og styrke sin agens. I hvilken grad man lykkes med å ta og å ha agens, blir synlig gjennom andres respons på det man sier og gjør. Det handler om muligheter som medelever og lærer åpner opp for, å få muligheter til å kunne påvirke hva som skal skje, og hvordan det skal skje. Agens kan sies å være det rommet man har til å argumentere og handle i tråd med egne ønsker og mål. Samtidig kan agens også ha en sosial dimensjon, der flere har et felles fokus og deltakerne veksler med å bidra til hvilken retning handlingene tar. For å belyse viktigheten av denne sosiale dimensjonen innførte Roth (2004) begrepet delt agens (shared agency). Delt agens innebærer at flere parter har innflytelse, det er for eksempel ikke bare læreren som avgjør hvordan og i hvilken retning en time og en samtale utvikler seg. I hvilken grad man har agens og hvem som har det, vil kontinuerlig kunne variere. Delt agens i matematikkundervisning er en prosess som influeres av skolematematikkens tradisjoner og deltakernes engasjement.

To sentrale begreper knyttet til agens-begrepet er myndiggjøring og makt. Ernest (2002) beskriver hvordan matematikk kan fungere myndiggjørende, der det å bruke matematikk kan forbedre sjansene i utdanning og arbeid, og til kritisk-matematisk deltakelse i samfunnet. Gjennom sosial myndiggjøring kan en elev oppnå genuin matematisk agens med kapasitet og muligheter til å gjøre valg i tråd med egen vilje og intensjoner. Valero (2004) problematiserer at matematisk kompetanse ofte blir sett på som så kraftig verktøy i seg selv at det gir makt uten behov for flere argumenter. Men hvis det mangler kritisk refleksjon om hvordan matematikk er brukt i et argument, sier Valero at matematisk kunnskap ikke er nok til å utvikle myndighet. Og uten tilstrekkelig myndighet er det vanskelig å ta agens.

All språkbruk kan implisitt sies å være argumentativ ved at den søker anerkjennelse for måter å forstå verden på. Språk består av innhold og form, noe vi i dette kapittelet ser i sammenheng. Formuleringer, valg av ord og betoning er farget av hva taleren vil oppnå. Når det argumenteres og ageres gjennom argumentasjon, velges formuleringer og uttrykksmåter som taleren tror vil være tjenlig. I en undervisningssituasjon handler dette om å bli gitt muligheter til å argumentere, hvordan disse mulighetene blir brukt, og hvordan argumenter blir møtt. Det fungerer myndiggjørende når elever og lærer har rom til å argumentere, når argumenter blir lyttet til og brukt videre av andre.

9.3.1 Toulmins begrepsapparat

Vi bruker Toulmins (2003) begrepsapparat om argument for å belyse både hvordan elever og lærere argumenterer for sine ståsteder, og hvordan de bruker hverandres argument i fortsettelsen av samtalen. Toulmin beskriver hva et argument er, og hva et godt argument må inneholde. Argument brukes her om hele resonnementet og ikke bare de enkelte bestanddelene som Toulmin deler argument opp i. En påstand 2 (claim) presenterer en konklusjon, for eksempel «oddetall + oddetall er partall». Belegg (ground) er fakta som påstander bygger på, for eksempel «når jeg legger sammen 5 + 3 så blir det 8, som er et partall». Når belegg kommer først i argumentet, kommer påstanden som en følge av «så derfor», og når påstanden kommer først, er belegget svaret på «fordi». Videre trengs det en bro som knytter sammen påstand og belegg, for eksempel «om man legger sammen to like oddetall som 3 + 3, eller ulike oddetall som 7 + 3, eller store oddetall som 57 + 193, blir det alltid et partall». Broen, som svarer på «hvordan kommer du fra belegg til påstand?», kalles hjemmel (warrant). Hjemmelen kan sertifisere påstanden som sann eller akseptabel. Disse tre komponentene, påstand, belegg og hjemmel, er grunnmodellen til et argument ut fra Toulmins teori. I mange samtaler kan det være at kun påstand og belegg kan identifiseres eksplisitt, mens hjemmel gjerne ligger implisitt i en delt kunnskap og forståelse mellom partene. Det samtalepartnere anser som selvsagt, blir gjerne ikke uttrykt eksplisitt. Dette viser Krummheuer (2007) i sin analyse der han tilpasser Toulmins teori til dagligtale i en matematikktime på barnetrinnet. Når læreren for eksempel er stille, blir dette av Krummheuer tolket som hjemmel, som en bekreftelse på at veien fra belegg til påstand er korrekt.

I tillegg til grunnmodellen utvidet Toulmin argumentstrukturen med det som kalles ryggdekning (backing) og innvending (rebuttal). Ryggdekning er utdypning når hjemmelen ikke er tilstrekkelig, for eksempel at «uansett hvilke to oddetall jeg prøver å legge sammen, blir svaret et partall». Hjemmelen kan møtes med en innvending, som gjerne bidrar med unntak fra hjemmelen, eller utfordrer hjemmelen med spørsmål: «Er du sikker på at svaret alltid blir et oddetall? Er du sikker på at det ikke finnes unntak?»

I en analyse der Toulmins argumentstruktur brukes, kan strukturen tegnes og slik gi en oversikt over komponentene som utfoldes i samtalen. I figur 1 vises strukturen på eksempelet knyttet til bevis for at oddetall pluss oddetall alltid gir et partall.

Figur 9.1

Argumentstruktur på et bevis for at oddetall pluss oddetall alltid gir et partall. Eksempelet er inspirert av Ures (2018) masteroppgave.

I figuren vises det ved piler hvordan man kan starte både fra belegg og fra påstand. Innvending er her tegnet slik at det kan virke både for påstand og hjemmel. Konsekvensen av en innvending er at det trengs mer forklaring og utdypning om hvorfor belegget fører til påstanden.

En annen egenskap Toulmin løfter fram ved argumenter, er det som kalles styrkemarkør (qualifier). Styrkemarkører kan, som ryggdekning og innvending, bidra til gjennomslagskraft for et argument og har derfor betydning når agens studeres gjennom argumenter og argumentstruktur. Argumentet «Oddetall + oddetall vil alltid bli partall, noe vi ser av denne tegningen her», med ordvalg som «vil alltid bli» og «vi ser» angir at dette er sikkert. Hvis man derimot sier: «Jeg tror at oddetall + oddetall blir partall siden i hvert fall 3 + 5 blir et partall», vil ordvalg som «tror» tone ned sikkerheten for at argumentet er riktig.

For å få innsikt i lærers og elevers delte agens undersøkes argumentene deres. Det kan diskuteres hvordan man skal forstå argument, om det er produkt eller prosess, en diskusjon Simosi (2003, s. 186) refererer til:

Rather than limiting one’s interest in how elements of a person’s viewpoint hold together, current research on argumentation is increasingly concerned with understanding properly the structure of an argument as a product through considering the various challenges which may arise in basic dialectical situations during which an argument has a persuasive function (i.e. argument as process).

Argumenter blir gjerne sett på som et produkt, et endelig resonnement. Men i dette kapittelet ser vi argumenter som prosess, som noe elever og lærere kan framstille og utvikle sammen i en samtale. Breivega (2018) viser hvilket potensial som ligger i Toulmin-modellen for å analysere dialogisk argumentasjon der elever deltar aktivt i debatt. En slik dialogisk tilnærming kan vi også finne f.eks. hos Weber, Maher, Powell og Lee (2008). De ser på læringsmuligheter i gruppediskusjoner i et prosjektarbeid i matematikk og bruker Toulmins (2003) argumentstruktur til å analysere samtaler mellom elever. Artikkelen deres viser hvordan en gruppe elevers hjemmel blir gjenstand for diskusjon i plenum. De skriver at Toulmins argumentstruktur blant annet kan brukes i matematikkundervisning for å analysere utvikling av elevers begreper ved å undersøke deres kollektive argumentasjon, og for å kategorisere og vurdere kvaliteter ved et spesifikt matematisk argument. Vi bruker Toulmin for å se på den kollektive argumentasjonen der både lærer og elever har muligheter til å framsette argumenter med påstander som får følger for fortsettelsene, slik at argumenter utvikles i fellesskap der lærer og elever har delt agens.

Å argumentere for noe ses som en handling som kan virke inn og bidra til endring. På den måten kan et argument, og hvordan det blir mottatt, vitne om agens eller mangel på agens. Å virke til endring kan her forstås på flere nivå. Hvis emnet som blir diskutert, er høyaktuelt for samfunnet elevene bor i, og at de gjennom argumenter kan få innvirkning på sitt nærmiljø, handler det om endringer på makronivå. Hvis det er fokus på hvordan det elever og lærer sier kan få betydning for videre samtaler i klasserommet, handler det om endringer på mikronivå. Toulmins argumentmodell er fruktbar for å få innsikt i hvordan elementer i en argumentstruktur brukes av lærere og elever for å åpne opp for andres agens og selv oppnå agens på et mikronivå. I samtaler mellom elever og lærer kan de ha delt agens ved at de støtter, utfyller og oppfordrer til å komme med hjemler og belegg for påstander. Læreren har makt i kraft av sin rolle og vil være viktig i ledelse av slike samtaler for å tilrettelegge for at elever kan ta agens som kan bidra til både matematikklæring og medborgerskap.3 Det som skjer på mikronivå, kan i neste omgang ha betydning på makronivå.

9.4 Metode

Eksemplene i dette kapittelet er hentet fra et tverrfaglig prosjekt om trafikksikkerhet på 8. trinn. Elevene målte høyden på støypekanter og gjorde trafikktellinger på seks kritiske punkt langs egen skolevei. Læreren hadde på forhånd laget fem kategorier som elevene skulle bruke i trafikktellingen: store kjøretøy, biler, motorsykkel/ATV, sykler og annet. Deretter bearbeidet de materialet parvis der de søkte etter gode måter å presentere det på slik at det også kommuniserte med folk utenfor prosjektet. Ulike tabeller, diagram og figurer ble laget, og deretter ble de framført og diskutert i plenum. Til slutt hadde de en meta-samtale om hva som var hensikten med prosjektet. I etterkant skulle elevene skrive et brev til politikerne der de med kritisk-matematisk blikk skulle argumentere for behov for utbedringer langs skoleveien. Brevet ble aldri realisert, men det påvirket arbeidsprosessen og samtalene i klasserommet. I etterkant av prosjektet ble det skrevet en avisartikkel fordi temaet var så aktuelt, der elever ble intervjuet om hva de hadde gjort, og hvordan de gikk fram.

Prosjektet er basert på et kritisk-pedagogisk perspektiv for både lærer og forskere. Det handler om at sosiopolitiske realiteter sammen med elevers egne erfaringer ses på som kraftfulle og meningsfulle kontekster for å bruke matematikkbaserte argumenter til aktiv deltakelse i samfunnet (Balasubramanian & Gutstein, 2013). Ved å velge et slikt perspektiv demonstrerer læreren også en agens for endring gjennom aktivt å velge kontekster som kan ha betydning for elevene og nærmiljøet. I en slik undervisning vil læreren ta agens og unngår da at andre, som f.eks. lærebokforfattere, styrer hele undervisningen, det Alrø og Skovsmose (2002) kaller absolutt byråkratisme.

Data ble samlet inn gjennom observasjon, videoopptak og intervju. To av parenes arbeid med bearbeiding av innsamlet materiale og forberedelser til presentasjon, presentasjonene i plenum og meta-samtalen om prosjektet, ble filmet og observert. I tillegg ble læreren intervjuet underveis i prosjektet, og i etterkant ble alle elevenes filer samlet inn. Prosjektet er godkjent av NSD, og deltakelse er akseptert av elever og foreldre/foresatte. Alle deltakerne er anonymisert.

Eksemplene som blir analysert, er hentet fra elevenes presentasjoner i plenumsdiskusjonen, og de er valgt fordi de representerer interessante situasjoner der aspekter ved elevers og lærers agens tydelig er til stede. Analysen av disse eksemplene viser også noe av kompleksiteten og de mange valgsituasjonene lærere ofte står overfor. Vi har strategisk valgt ett eksempel som viser hvordan elevers ytringer får stor påvirkningskraft, og ett eksempel der en elevytring får liten påvirkningskraft.

Toulmins (2003) begrepsapparat for argumentstrukturer brukes i dette kapittelet som analytisk redskap. I en analyse vil ikke alle element i argumentstrukturen være eksplisitt uttalte, som allerede nevnt gjelder dette ofte hjemmel. Dette kan også gjelde belegg. Simosi (2003) problematiserer bruken av Toulmin som analytisk redskap i hverdagssamtaler, da det i slike samtaler ofte er opplysninger som er kjent mellom deltakerne, og derfor blir tatt for gitt. Slik kan man erfare at også en påstand står uten belegg, fordi belegget er en felles kunnskap som man tar for gitt at mottaker kjenner til. Å akseptere at belegg kan være implisitt, strider mot Toulmins beskrivelse av hva som er absolutt nødvendig for å kunne kalle noe et argument. Siden Toulmin selv presiserer at funksjon er viktigere enn grammatikk, velger vi å se på belegg som noe som ikke nødvendigvis må være uttalt, men som man kan forvente at mottaker kjenner til, og som dermed finnes implisitt (Simosi, 2003; Jørgensen & Onsberg, 2011, s. 22).

I analysen er, i tillegg til verbale ytringer, diagram og bilder med bakgrunnsmateriale som deltakerne presenterte, for eksempel frekvenstabeller, sett på som del av et argument. De kan fungere både som belegg og hjemmel, og ble tolket ut fra kontekst og funksjon.

En annen utfordring man møter ved bruk av Toulmin i en skolediskurs, er at spørsmål kan være noe annet enn reelle spørsmål som avsender ønsker svar på fordi man ikke vet (Johnsen-Høines & Alrø, 2010). Når man spør i matematikktimer, kan det være om noe man som lærer selv vet, men som man ønsker at andre skal argumentere for eller vise at de kan. I læreres spørsmål, men også i elevers, kan det derfor ligge skjulte påstander. For eksempel når læreren spør: «Hvor lang tid brukte man for å telle disse bilene? … Nødvendig informasjon?», velger vi å tolke dette som påstand om at det er nødvendig å vite tiden man har brukt på å telle biler. Hadde læreren ment det ikke var nødvendig informasjon, ville spørsmålet ikke vært stilt. Slik kan spørsmål fungere som påstand som elever kan foreslå belegg for.

I analysen ses et argument i sammenheng med andre argumenter. Perelman (Grepstad, 1997) beskriver det som nettverk av argumenter. To argumenter kan være beslektet og del av samme argumentasjon, med det kan også være argumenter som ikke henger sammen med andre argumenter i nettverket. Når vi undersøker hvordan lærer legger til rette for matematikkundervisning der både lærer og elever har agens, ser vi etter sammenhenger: hvordan elevers og lærers argumenter er knyttet til hverandre, hvem som har initiativet, og hvordan påstander framsettes og begrunnes. Vi ser etter hvordan argumenter får følger for fortsettelsen, men også etter brudd der elever viser vilje til å ta agens uten å nå fram, og der innspillet får lite konsekvenser i den videre samhandlingen.

9.5 Lærers valg av fokus og retning, hvem har agens?

I det følgende dialogutsnittet diskuteres det i plenum etter at to gutter har presentert en frekvenstabell og sitt diagram over antall registrerte kjøretøy. Mark var en av dem som presenterte. De har laget søylediagram, se figur 9.2, der midterste søyle representerer antall personbiler med bilde av sju hele biler pluss en liten del av en bil, og nederst søyle har avbildet små busser som representerer store kjøretøy. I frekvenstabellen var det opplyst at de hadde talt 80 biler og 18 store kjøretøy. De oppgav ikke hvor mange biler en bil representerte eller hvor mange store kjøretøy en buss representerte.

Læreren spør om de har opplysninger om hvor lang tid man brukte for å telle antall biler representert ved søylen (fig. 9.2) Midt i samtalen stiller Vegard et spørsmål som bryter med samtalen lærer har initiert. Det er derfor to analyser av samtalesekvensen under, først samtalen som lærer initierer, og deretter samtalen som Vegard initierer (farget grått).

Lærer

Hvor lang tid brukte man for å telle disse bilene?

Mark

Ikke tatt med.

Lærer

Nødvendig informasjon?

Mark

… Kan ta alle bilene som passerte og dele det på antall minutt, og så får man hvor mange biler som passerer per minutt …

Lærer

Det var lurt – matematisk navn på dette her?

Figur 9.2

To gutters liggende søylediagram.

Vegard

Er en bil 10?

Lærer

Nei det vet jeg ikke helt, han er litt mer, 11. Hva heter det da?

Oline

Gjennomsnitt!

Lærer

Ja, det er en annen måte å regne gjennomsnitt enn når vi regnet gjennomsnitt på høyden.

Ut ifra samtalen ovenfor kan følgende argumentstruktur settes opp:

Påstand

Tid er nødvendig informasjon (stilt som spørsmål til elevene).

Belegg

Fordi når man deler antall biler som passerer på antall minutt, får man hvor mange biler som passerer per minutt (svar på fordi, fakta).

Hjemmel

Gjennomsnitt gir nyttig informasjon og er et solid matematisk argument (det som knytter dem sammen).

Styrkemarkør

Det var lurt.

Ryggdekning

Lærerens fokus på det matematiske navnet gjennomsnitt.

Læreren responderer på presentasjonen de to guttene har, og etterspør en opplysning – om de har tatt tiden de brukte når de talte biler. Hun framsetter implisitt en påstand om at tid er nødvendig informasjon gjennom å stille spørsmålet. Ved å spørre ber hun i første omgang om belegg for dette. Mark svarer at man kan ta antall biler delt på antall minutt for å finne antall passeringer per minutt. Dette kan ses som en faktabeskrivelse om hva tid kan brukes til, og fungerer som et belegg for at tid er nødvendig informasjon for å finne hvor mange biler som passerer per minutt. Hjemmelen, som ikke er eksplisitt uttalt, men som man kan anta er felles kunnskap i et matematikklasserom på 8. trinn, handler om at matematikk, i dette tilfellet gjennomsnitt, er et sterkt verktøy å bruke når man argumenterer. Lærerens svar, «det var lurt», fungerer som en styrkemarkør og tydeliggjøring av en slik uuttalt hjemmel. Når hun spør etter det matematiske navnet på «dette her», legger læreren opp til å gi ryggdekning til hjemmelen ved å få fram eksplisitt det matematiske begrepet. Dette kan hun anta elevene kjenner til på bakgrunn av at gjennomsnitt er et begrep elevene møter i skolen allerede på barnetrinnet. Hennes henvisning til at dette er forskjellig fra å regne gjennomsnitt av høyde, understreker felles referanser knyttet til begrepet gjennomsnitt. Innen matematikk er gjennomsnitt kjent som et av flere statistiske mål som brukes i argumenter for å ta kunnskapsbaserte avgjørelser.

I den presenterte argumentstrukturen tar lærer initiativ, hun etterspør belegg for hvorfor tid er nødvendig informasjon. Hun tar utgangspunkt i en mangel ved elevenes resonnement der bare antall biler er presentert, der påstanden om viktigheten til tidsaspektet og begrunnelsen for det ikke kom fram. Dermed er det en åpning for at elevene kan tolke lærerens spørsmål som en klargjøring av hva man kan finne ut ved å bruke tid. Elevene benytter denne åpningen, og lærer forsterker ved å si det var lurt. Ser man samtaleutdraget i sin helhet, er det læreren som har mest kontroll, som vet hva hun vil at elevene skal rette oppmerksomheten mot, og som dermed har størst agens.

Midt i utdraget, når læreren nettopp har spurt etter det matematiske navnet gjennomsnitt, kommer Vegard inn med en påstand som kan settes inn i en argumentstruktur som denne:

Påstand

En bil er ti (Vegard framsetter det som spørsmål, «er en bil ti?»)

Belegg

Bilde av sju hele biler og en liten del av en bil som til sammen skal representere alle 80 bilene som ble registrert. Tidligere presentert i frekvenstabell.

Hjemmel

(Implisitt): Antall biler som er registrert, er felles kunnskap presentert i frekvenstabell for klassen. Hva en bil kan representere, finner man ved å ta antall biler (her 80) dividert på antall biler (her mellom sju og åtte biler) i søylediagrammet. Rundes antallet opp til åtte biler, får man 80/8, som blir 10.

Læreren svarer Vegard med en ny påstand som inngår i en ny argumentstruktur:

Ny påstand

Litt mer, 11.

Belegg

Bilde av sju hele biler + en liten del av en bil (skal representere alle bilene som ble registrert).

Hjemmel (implisitt):

Kunnskap om antall biler som er registrert delt på antall biler som er på bildet. Runder man ned til sju biler avbildet i søylediagrammet, får man 80/7, som blir noe over 11 biler.

Styrkemarkør

Det vet jeg ikke helt.

Vegard kommer med et viktig spørsmål som kan tolkes som en påstand, at en bil i søylen representerer ti biler i virkeligheten. Spørsmålet kan også tolkes som en innvending til medelevenes diagram (som her kan ses på som en egen påstand i en annen argumentstruktur), der én søyle viser store personbiler, og en annen søyle viser mye mindre busser. Dette gjør diagrammet vanskelig å tolke. Læreren svarer på henvendelsen og viser med en styrkemarkør, «det vet jeg ikke helt», at hun er usikker. Hun kommer fram til et svar som ligger nært elevens, at en bil i søylen representer elleve biler i virkeligheten. Skjermbildet med søylediagram med avbildede biler og frekvenstabell kan her ses som belegg der disse representerer noen fakta som lærer og elev tar utgangspunkt i. Hjemmelen for å anta at én bil representerer ti, kan være felles forståelse for hvordan man kan regne ut dette; antall registrerte biler på det kritiske punktet dividert med antall biler avbildet på søylen gir antall biler som én bil på søylen representerer. Når antall biler avbildet ikke er et heltall og man skal regne i hodet, brukes kunnskapen om avrunding. Når man runder opp, blir det 80 biler dividert på ca. åtte, som gir svaret ti. Lærerens resonnement ser ut til å ha samme implisitte hjemmel som Vegards resonnement, hun bruker samme framgangsmåte, men hun runder sannsynligvis ned til sju slik at regnestykket hennes blir 80/7, som gir svaret ca. elleve biler.

Læreren sjonglerer to samtaler samtidig. Først anerkjenner hun usikkerheten om hvor mange biler én bil i diagrammet representerer, deretter kommer hun med en påstand «litt mer, 11». Deretter går hun tilbake til spørsmålet om hva det matematiske navnet er på det Mark forklarte. Eleven som spør om én bil er ti, tar initiativ til ett nytt tema, han tar agens, men ytringen hans får begrenset gjennomslagskraft på fortsettelsen av samtalen. Han presenterer en påstand, og han kommuniserer ut fra felles belegg (frekvenstabell og bildet på skjermen), men han uttrykker ikke noen hjemmel eller ryggdekning for hvorfor spørsmålet hans er viktig, hverken med hensyn til mål om matematikklæring eller mål om å kommunisere et matematisk argument. Som en implisitt kritikk til hvordan diagrammet kommuniserer på bakgrunn av måten det er laget på, kunne Vegards innspill være aktuelt å følge opp. Her velger derimot læreren å gi forrang til fortsettelsen på samtalen hun har startet om gjennomsnitt.

Ved bruk av Toulmins argumentstruktur får man innsikt i hva som blir uttrykt verbalt, hva som ikke blir sagt, og hva som blir uttrykt gjennom ulike representasjonsformer som f.eks. diagram. I klasseromssamtaler er det mye som blir tatt for gitt (Krummheuer, 2007), fordi lærer og elever har en felles historie, som når læreren viser til at å regne ut antall biler per minutt er annerledes enn «når vi regnet gjennomsnitt på høyden». Her vises det eksplisitt til tidligere erfaringer med gjennomsnitt. Hva som er forskjellig mellom tidligere erfaring med utregning av gjennomsnitt med høyde og den nye situasjonen med biler, og hvorfor dette er viktig å påpeke, kommer ikke fram. I en intern klasseromssamtale kan slike argumenter med implisitte hjemler og belegg fungere, mens det i kommunikasjon med eksterne aktører som politikere eller journalister trengs mer utviklete og eksplisitte argumenter.

Gjennom analysen finner vi at læreren har en styrende funksjon på hva som skal ha prioritet og fokus for elevene og seg selv. Det betyr ikke at elevers innspill som har et annet fokus, blir ignorert, men innspillet får ikke en stor innvirkning på den videre samtalen. Elevens initiativ til å avbryte lærerens tankerekke kan være et tegn på at elevene er vant til at innspill blir tatt imot, og at elever er velkomne til å prøve ut påstander. Denne tolkningen støttes av utsagn læreren senere kom med i intervjuet, der hun eksplisitt uttrykte at «det er så deilig å ha elever som tør å si noe annet enn læreren og mene noe. Det er jo helt fantastisk». Utdraget som analyseres, kan slik ses som et eksempel på delt agens, men i dette tilfellet fordelt slik at læreren har mest agens. Hun styrer samtalen til et poeng knyttet til gjennomsnitt som et viktig matematisk mål som kan ha betydning for argumenter knyttet til samfunnsdebatter.

9.6 Elevers initiativ får konsekvenser for samtalens retning

I forkant av det følgende dialogutsnittet diskuterer læreren og elevene om kun kjøretøy skal tas med – skal eksempelvis observerte sauer i veien tas med som del av trafikkbildet? Plutselig tar en elev ordet og retter oppmerksomheten mot at det mangler en egen kategori for busser i trafikktellingene. I skjemaet læreren hadde gitt elevene, var trailere og busser plassert i en felles kategori, store kjøretøy.

Mark

Når jeg ser på hva vi har telt på, så synes jeg vi skulle tatt en egen kolonne for busser.

Lærer

Ja, ok. Hvorfor vil du det?

Mark

Fordi det er mange folk i busser. Det er flere enn f.eks. i en personbil.

Lærer

Å ja – smart.

Lars

Eller trailer.

Lærer

Ja, hvor mange er det i en trailer eller i et vogntog?

Inger

En til to.

Lærer

Ja […]. Hvor mange pleier det å være på en buss, da?

Flere

30 [i munnen på hverandre]

Siri

Det spørs … varierer … nok.

Lærer

Så det vil være forskjell om en buss kjører utfor enn en bil eller vogntog?

Flere

Ja.

En argumentstruktur for dette dialogutdraget kan se slik ut:

Belegg1

Det eleven har sett og registrert, her store kjøretøy og biler (når jeg ser hva vi har telt på).

Påstand 1

Vi skulle hatt egen kolonne for busser (implisitt kan dette også fungere som innvending mot læreres kategorisering om denne tolkes som påstand)

Innvending

Hvorfor det?

Belegg 2

Det er mange folk i busser, det er flere enn i en personbil.

Styrkemarkør

Å ja – smart.

Belegg 3

Eller trailer (flere mennesker i buss enn i trailer).

Hjemmel 1

Det vil være en forskjell fordi det vil bli større skadeomfang om en buss kjører utfor enn om et vogntog kjører utfor, på grunn av antall personer som blir involvert.

Mark tar selv initiativ til samtalen der det blir påpekt at frekvenstabellen mangler en kolonne for busser, som begrunnes ut fra det de har telt. Læreren protesterer ikke, men spør hvorfor. Slik stimulerer læreren elevene til å begrunne påstanden. Elevene svarer med faktaopplysninger, om at det er flere mennesker i busser enn i personbiler, og læreren følger opp med nye spørsmål som fører til forsterkning av elevenes belegg. Så knytter hun sammen elevenes belegg og påstand og eksplisitt uttrykker i spørsmåls form, at det vil være en forskjell om en buss kjører utfor sammenlignet med en bil eller et vogntog. Det som ikke er eksplisitt uttalt, er at på grunnlag av data kan vi si at flere mennesker vil bli skadelidende om en buss kjører utfor enn om en trailer gjør det (hjemmel). På denne bakgrunn kan antall busser anses å være et viktig argument i en offentlig debatt om veisikkerhet.

Det er læreren som har laget kategoriene. Hun legger til rette for at elevene skal kunne telle og fylle inn frekvenstabellen. Elevenes utsagn om at «vi skulle tatt en egen kolonne for busser» kan slik tolkes som en innvending mot lærerens inndeling av kjøretøy i kategorier. I stedet for å avvise påstanden spør læreren «Ja, ok. Hvorfor vil du det?» Hun åpner opp for at eleven kan utdype og komme med belegg og hjemmel for påstanden sin. Marks belegg er at det er mange folk i busser, flere enn i en personbil. Underforstått ligger hjemmelen at konsekvensene vil være mye større om en buss går utfor støypekanten, enn en personbil. Dette er et poeng læreren tar imot med kommentaren «Å ja – smart», som er en anerkjennelse av elevens belegg, og muligens også til den underforståtte hjemmelen. Lars bryter da inn med «eller trailer». Lars’ innspill kan ses som refererende og støttende til Marks utsagn. Slik fungerer innspillet styrkende for Marks belegg og implisitte hjemmel. Lærerens innspill, som kommer med en konklusjon formulert som et retorisk spørsmål: «Så det vil være en forskjell om en buss kjører utfor enn en bil eller trailer», kan også fungere som ryggdekning for elevenes implisitte hjemler knyttet til at det er flere personer i buss enn i bil/trailer.

I utviklingen av argumentet for egen kategori for busser deler elever og lærer agens. Lærer har gitt dem oppdraget og tabellen. Elevenes innspill og kritikk blir tatt imot. Sammen kommer de fram til en løsning forskjellig fra hva læreren hadde lagt opp til på bakgrunn av elevenes argumenter. Dette viser at elevene har agens i samtalen. Læreren er den som oppmuntrer elevene til å grunngi og utdype argumentet for å ha en egen kolonne for buss. Slik legger hun til rette for elevens agens og at det dermed kan være delt agens mellom henne og elevene. Eksplisitt uttrykte argumenter kan ha betydning for å få gjennomslag eksternt. Dersom man kan vise hvor mange busser, og hvor mange personer som er berørt av denne farlige veien og hvor store konsekvenser en ulykke vil kunne ha, vil det kunne være et virksomt argument for å få gjort noe med veistrekningen.

9.7 Konklusjon

I arbeid med demokratisk opplæring har lærere en viktig rolle som tilrettelegger av elevers læring i meningsfylte aktiviteter som de kan engasjere seg i, der elever kan ha agens og bidra som aktive medborgere. I dette tilfellet var matematikklæring knyttet til elevers lokalkunnskap og engasjement for å få sikrere skolevei. I prosjektet var det vesentlig at elevene brukte matematikk i sine argumenter gjennom behandling av innsamlet data, framstilling i tabeller og visuelle bilder. Dette ble igjen grunnlag for samtaler om matematiske begrep som gjennomsnitt og ulike måter man kan kategorisere på, som har betydning når man argumenterer. Bruk av Toulmins argumentstruktur i analysen gjør det mulig å få innsikt i hvordan elever og lærere sammen bygger opp argumenter, det gir innsikt i kvaliteter ved belegg og påstander som blir uttrykt eksplisitt, og innsikt i hvordan hjemlene i argumentstrukturen ofte kun er implisitt til stede.

Når det legges til rette for argumenter der belegg, påstander og hjemler uttrykkes eksplisitt for å styrke gjennomslagskraft og dermed agens, ser det ut til at det å ha eksterne mottakere i tankene fungerer stimulerende for dette. I de to utdragene som er analysert, er det mye intern kommunikasjon der hjemler ligger implisitt og bygger på felles erfaring som klassen har, som i eksempelet med gjennomsnitt. Klassen og lærer har i dette prosjektet også eksterne mottakere i tankene, politikerne i kommunen, og dette bidrar til samtaler der temaer som gjennomsnitt og egen kolonne for buss blir relevante.

Ulike aspekter ved demokratilæring i matematikkundervisning blir aktualisert i denne studien. Elevene bruker kunnskap de har lært i matematikkundervisning til å kritisk analysere sine omgivelser, og bruker denne i sine argumenter. De har agens ved at de engasjerer seg i en lokal sak som har betydning for skoleveien deres. Det blir mer enn kun «øving» av matematiske ferdigheter gjennom at de også får fortalt om prosjektet i lokalavisa. Slik blir meningene deres og dataene de har samlet inn, gjort kjent.

Elevene og læreren viser gjennom presentasjoner og samtaler at de har delt agens ved at både lærer og elever slipper til, de lytter og kommer med påstander som blir fulgt opp i videre samtale. Noen ganger får lærerens innspill og intensjon forrang, andre ganger er det elevens innspill som får tydeligst innvirkning for samtalens retning. Gjennom å bruke et lokalt prosjekt i matematikkundervisningen kan elever erfare at deres lokale kunnskap har betydning – også knyttet til matematikk. Da kan matematikk bli en del av elevers livsverden der matematikk brukes til å påvirke og delta i samfunnet.

Litteratur

Aguilar, M. S. & Zavaleta, J. G. M. (2012). On the links between mathematics education and democracy: A literature review. Pythagoras, 33(2), Art. 164, 15 s. https://doi.org/10.4102/pythagoras.v33i2.164

Alrø, H. & Skovsmose, O. (2002). Dialogue and learning in mathematics education: Intention, reflection, critique. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Andersson, A. (2013). Meningsfullt – även för den som hatar matte. Tangenten – Tidsskrift for matematikkundervisning, 24(4), 23–28.

Balasubramanian, A. & Gutstein, R. (2013). The complexity of interweaving mathematical and sociopolitical content. I M. Berger, K. Brodie, V. Frith & K. le Roux (red.), Proceedings of the 7th International Mathematics Education and Society Conference (MES 7) (Vol. 1, s. 203–212). Cape Town: MES 7.

Ball, D. L., Goffney, I. M. & Bass, H. (2005). The role of mathematics instruction in building a socially just and diverse democracy. The Mathematics Educator, 15(1), 5.

Breivega, K. M. R. (2018). Unge retorar i Lofoten: Ein Toulmin-inspirert argumentasjonsanalyse av ein klasseromsdebatt. Tidsskriftet Sakprosa, 10(3), 1–34. https://doi.org/10.5617/sakprosa.6167

Ernest, P. (2002). Empowerment in mathematics education. Philosophy of Mathematics Education Journal, 15. Hentet fra http://people.exeter.ac.uk/PErnest/pome15/empowerment.htm

Fosgerau, G. (1992). Hvad er matematik? I G. Fosgerau & F. H. Kristiansen (red.), Midt i matematiken: En bog om matematiske spørgsmål (s. 21–36). Århus: Kvan.

Greer, B., Verschaffel, L. & Mukhopadhyay, S. (2007). Modelling for life: Mathematics and children’s experience. I W. Blum, P. L. Galbraith, H.-W. Henn & M. Niss (red.), Modelling and applications in mathematics education: The 14th ICMI Study (s. 89–98). Boston, MA: Springer US.

Grepstad, O. (1997). Det litterære skattkammer: Sakprosaens teori og retorikk. Oslo: Det Norske Samlaget.

Gutiérrez, R. (2017). Political conocimiento for teaching mathematics: Why teachers need it and how to develop it. I S. E. Kastberg, A. M. Tyminski, A. E. Lischka & W. B. Sanchez (red.), Building support for scholarly practices in mathematics methods (s. 11–37). Charlotte NC: Information Age Publishing.

Gutstein, E. (2003). Teaching and learning mathematics for social justice in an urban, latino school. Journal for Research in Mathematics Education, 34(1), 37–73. https://doi.org/10.2307/30034699

Herheim, R. & Rangnes, T. E. (2016). Kritisk-matematisk argumentasjon og agens. I R. Herheim & M. Johnsen-Høines (red.), Matematikksamtaler: Undervisning og læring analytiske perspektiv (s. 107–122). Bergen: Caspar Forlag.

Johnsen-Høines, M. & Alrø, H. (2010). Trenger en å spørre for å være spørrende? Tidsskriftet FoU i praksis, 4(3), 79–96.

Jørgensen, C. & Onsberg, M. (2011). Praktisk argumentation (3. utgave). Valby: Nyt Teknisk Forlag.

Krummheuer, G. (2007). Argumentation and participation in the primary mathematics classroom: Two episodes and related theoretical abductions. Journal of Mathematical Behavior, 26, 60–82. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2007.02.001

Mellin-Olsen, S. (1987). The politics of mathematics education. Dordrecht: Reidel.

Mellin-Olsen, S. (2009). Oppgavediskursen i matematikk. Tangenten – Tidsskrift for matematikkundervisning, 20(2), 2–7.

Norén, E. (2013). Tvåspråkig matematikundervisning. Tangenten – Tidsskrift for matematikkundervisning, 24(3), 20–26.

Roth, A. S. (2004). Shared agency and contralateral commitments. The philosophical review, 113(3), 359–410. https://doi.org/10.1215/00318108-113-3-359

Simosi, M. (2003). Using Toulmin’s framework for the analysis of everyday argumentation: Some methodological considerations. Argumentation, 17, 185–202. https://doi.org/10.1023/A:1024059024337

Skovsmose, O. (2003). Matematikken er verken god eller dårlig – og da slet ikke neutral. I O. Skovsmose & M. Blomhøj (red.), Kan det virkelig passe? Om matematiklæring (s. 229–236). København: L&R Uddannelse.

Toulmin, S. E. (2003) [1958]. The uses of argument. Updated edition. Cambridge: Cambridge University Press.

Ure, F. K. (2018). Argumenterande skriving på barneskulen: Ein analyse av elevar sine argumenterande matematikktekstar på 4. og 7. trinn (Masteroppgave). Høgskulen på Vestlandet, Bergen.

Valero, P. (2004). Socio-political perspectives on mathematics education. I P. Valero & R. Zevenbergen (red.), Researching the socio-political dimensions of mathematics education (s. 5–24). Boston, Mass.: Kluwer Academic Publishers.

Vithal, R. (1999). Democracy and authority: A complementarity in mathematics education? ZDM. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 31(1), 27–36. https://doi.org/10.1007/s11858-999-0005-y

Weber, K., Maher, C., Powell, A. & Lee, H. S. (2008). Learning opportunities from group discussions: Warrants become the objects of debate. Educational Studies in Mathematics, 68(3), 247–261. https://doi.org/10.1007/s10649-008-9114-8

1Det engelske ordet agency er oversatt til agens. Ordet agens blir brukt på norsk i naturvitenskap om noe som kan forårsake en endring eller som driver/holder en prosess gående, og i språkvitenskaper om den som utfører verbhandling i en setning. Agency blir òg oversatt til agens i tekster om matematikkundervisning på svensk, f.eks. i Andersson (2013) og Norén (2013).
2De norske begrepene er hentet fra Grepstad (1997).
3Det er ikke all agens som er ønskelig når målet er å lære matematikk og bruke matematikk i argumenter. Elever som har utagerende adferd, har også agens – de virker inn på fortsettelse, men motarbeider målet. Denne typen agens er ikke i fokus i dette kapittelet.

Idunn bruker informasjonskapsler (cookies). Ved å fortsette å bruke nettsiden godtar du dette. Klikk her for mer informasjon