Aksjeindeksobligasjoner er blitt en populær spareform i Norge, og mange velger å lånefinansiere slike investeringer. Hovedgrunnen til populariteten er utvilsomt at tapspotensialet er begrenset og at flere finansinstitusjoner har brukt store ressurser på markedsføring av produktene. Det har frem til nå vært svært lite fokus på gevinstpotensialet til disse produktene. I denne artikkelen forklarer vi hvordan vi kan beregne forventet avkastning på aksjeindeksobligasjoner. Vi eksemplifiserer med to produkter som ble lansert av DnB høsten 2000. Selv med optimistiske antagelser om forventet avkastning i aksjemarkedet, viser det seg at forventet avkastning på disse produktene så vidt overstiger risikofri rente. Ved lånefinansiering finner vi at kundene har negativ forventet avkastning.

1. Innledning

Strukturerte produkter er en heterogen gruppe av investeringsalternativer som kombinerer ulike finansielle instrumenter. Aksjeindeksobligasjoner (AIO) tilhører denne familien av investeringer, og den består av en obligasjon og en kjøpsopsjon. Bankinnskudd med aksjeavkastning (BMA) tilsvarer en AIO, men her er obligasjonen byttet ut med et bankinnskudd. Ved kjøp av en obligasjon kan kjøper risikere at utsteder av obligasjonen ikke er betalingsdyktig ved forfall. Bankinnskudd derimot, er sikret med opptil 2 millioner i norske kroner i Bankenes Sikringsfond. Ser vi bort fra kredittrisiko, er disse produktene identiske.

Klype (2006) gir en oversikt over markedet for strukturerte produkter i Norge. De første aksjeindekserte produktene ble introdusert i Norge tidlig på 1990-tallet, og fra midten av 1990-tallet har produktene aktivt blitt markedsført mot privatmarkedet, kommuner mv. De fleste store banker og enkelte verdipapirforetak tilbyr i dag slike produkter. Ifølge Nordea bank ble det i 2005 solgt strukturerte produkter for ca. 23 milliarder kroner. I privatmarkedet har disse produktene blitt den foretrukne investeringsklassen fremfor tradisjonelle aksjefond. Produktene blir i mange tilfeller lånefinansiert.

Det har frem til nå vært svært lite fokus på gevinstpotensialet til disse produktene. I denne artikkelen forklarer vi hvordan vi kan beregne forventet avkastning på aksjeindeksobligasjoner. Vi eksemplifiserer med to aksjeindeksobligasjoner som ble lansert av DnB høsten 2000; GLOBAL 2000/2006 og SEKTOR 2000/2006. For disse produktene finner vi at forventet avkastning er svært lav, og ved lånefinansiering av disse spesifikke produktene finner vi at kun-

Side: 76

dene har negativ forventet avkastning. En bredere undersøkelse av markedet for strukturerte produkter vil kunne svare på om disse to produktene er representative for denne typen investeringer.

I del 2 gir vi en kort beskrivelse av aksjeindeksobligasjoner, og i del 3 diskuterer vi hvordan ulike faktorer påvirker forventet avkastning til disse obligasjonene. I del 4 gir vi en kort beskrivelse av DnBs to aksjeindeksobligasjoner. Videre forklarer vi hvordan vi har beregnet parametrene som ligger til grunn for analysen. I del 5 referer vi forventet avkastning til en investering i hvert av produktene (både gjelds-og egenkapitalfinansiert).

2. Aksjeindeksobligasjoner

En aksjeindeksert obligasjon består av en nullkupongobligasjon og en opsjon. Produktet gir investor et garantert minstebeløp ved forfall (pålydende). Vanligvis presenteres verdien (V) av produktene på forfallstidspunktet på følgende måte:




(1)

hvor P er pålydende til obligasjonen, AF er avkastningsfaktoren (også kalt deltakergrad) og C er opsjonsutbetalingen. Utbetalingen fra opsjonen er typisk gitt som en avkastningsstørrelse




(2)

hvor S er prisen på det underliggende aktivum opsjonen er skrevet på. Fotskriftene indikerer start (tidspunkt 0) og sluttdato (tidspunkt T) for opsjonen. Opsjonen i ligning (2) er en kjøps-opsjon, da den gir gevinst hvis avkastningen er positiv. Dersom verdiutviklingen er negativ, gir opsjonen null i avkastning.3 Siden opsjonen kan forfalle verdiløs (C=0 på tidspunkt T), er investoren garantert P ved forfall. Ofte er produktene konstruert slik at investeringsbeløpet er lik beløpet som er garantert ved forfall. Tegningsomkostninger kommer vanligvis i tillegg. Ved egenkapitalfinansiering taper investor altså maksimalt alternativinntekten pluss tegningskostnadene. Ved gjeldsfinansiering taper investor maksimalt finansieringskostnadene pluss tegningskostnadene.

3. Forventet avkastning til en opsjon

I tillegg til tapspotensialet vil en investor også være interessert i hvor stor oppsiden for investeringen er. Kombinerer vi de ulike utfallene for investeringen med sannsynligheten for de ulike utfallene, finner vi forventet verdi av produktet ved forfallstidspunktet. I ligning (1) er både P og AF konstanter. For å finne forventet verdi må altså investoren regne ut forventet opsjonsverdi (ligning 2) på sluttidspunktet. Dette er en ikke helt liten jobb, og resten av denne artikkelen er dedikert denne oppgaven. Vi skal regne på noen konkrete eksempler i de neste seksjonene, men først skal vi kort diskutere ulike faktorer som påvirker forventet avkastning til opsjoner som vi typisk finner i aksjeindekserte produkter.
  • Underliggende indeks: Jo større stigningspotensiale (forventet avkastning) i den underliggende indeksen, desto større forventet avkastning på opsjonen. Prisen på opsjonen, i henhold til Black-Scholes modellen, påvirkes ikke av forventet avkastning, men det gjør altså forventet avkastning til opsjonen.

Side: 77

  • Volatilitet: Volatilitet er et mål på kurssvingninger i indeksen. Siden en eier av en opsjon får gevinst ved gunstige utfall, men har begrenset nedside, vil høyere volatilitet gi økt sannsynlighet for gunstige utfall, og dermed høyere forventet avkastning. (Merk: Prisen på opsjonen vil øke som følge av økt volatilitet, men antar vi at prisen på opsjonen er gitt, vil økt volatilitet gi høyere forventet avkastning).
  • Korrelasjon: Ofte er opsjonen skrevet på et veid snitt av flere underliggende indekser. Hvis disse indeksene er sterkt korrelerte (går i takt), er diversifiseringseffekten liten. Ved lavere grad av korrelasjon, vil volatiliteten til et veid snitt bli vesentlig lavere enn volatiliteten til indeksene enkeltvis. Det vil si at diversifiseringseffekten reduserer sannsynligheten for svært gode og svært dårlige utfall (jfr. volatilitetseffekten over).4
  • Gjennomsnittsberegning: En standard europeisk opsjon har typisk definert avkastning i forhold til prisen på underliggende aksjeindeks på et gitt fremtidig forfallstidspunkt. I de strukturerte produktene er avkastningen ofte knyttet til gjennomsnittet av underliggende indeks i slutten av produktets levetid, f.eks. de 3 siste månedene i levetiden. Dette kalles ofte en «asiatisk hale», siden gjennomsnittsbaserte opsjoner har fått benevnelsen asiatiske opsjoner. Jo lengre asiatisk hale, desto mer reduseres volatiliteten til den underliggende indeks, og desto mer reduseres forventet avkastning til opsjonen.
  • Valuta: I de fleste aksjeindekserte produkter har investor ingen valutaeksponering. Det vil si at avkastningen definert i (2) er målt i den lokale valuta til den tilhørende indeksen. For eksempel måles avkastningen til en amerikansk indeks i dollar. Prisen på dollar målt i norske kroner påvirker ikke en eventuell opsjonsutbetaling. Denne typen opsjoner kalles Quanto-opsjoner. Prisen på en Quanto-opsjon er lavere jo høyere den norske renta er i forhold til det utenlandske rentenivået.

4. Forutsetninger ved vurdering av «Global» og «Sektor»

Høsten 2000 lanserte DnB to aksjeindeksobligasjoner: DnB aksjeindeksobligasjon – sektor 2000/2006 uten løpende rente («Sektor») og DnB aksjeindeksobligasjon – global 2000/ 2006 uten løpende renter («Global»). «Global» er indeksert mot 3 globale indekser i Europa, USA og Japan, mens opsjonselementet til «Sektor» er knyttet mot 3 bransjespesifikke europeiske indekser. Informasjon om de to produktene er oppsummert i tabell 1.5 For å vurdere forventet avkastning til hvert produkt trenger vi nå å finne parametre for forventet kursstigning, volatilitet og korrelasjon for de ulike delindekser. Vi starter med forventet kursstigning.

Side: 78

Tabell 1: Spesifikasjon av produktene «Global» og «Sektor».

«Global»

«Sektor»

Start og forfall

24.11.2000 – 24.11.2006

24.11.2000 – 24.11.2006

Pålydende

100%

100%

Deltakergrad

105%

100%

Underliggende

50% Euro STOXX50

33,33% STOXX Healthcare

25% S&P500

33,33% STOXX Telecom

25% Nikkei225

33,33% EURO STOXX Bank

Utbytte

Ikke utbyttejustert

Ikke utbyttejustert

Valuta

Ingen valutaeksponering

Ingen valutaeksponering


Forventet kursstigning

Som nevnt kan totalavkastningen i en porte-følje av aksjer komme både i form av kursstigning og dividende. I analyser av aksjemarkedet er det vanlig å fokusere på totalavkastningen. Totalavkastningen deles ofte opp i en risikofri avkastning pluss en risikopremie. En investor kan velge å investere i risikofrie statsobligasjoner. Dersom han skal påta seg risiko for tap, vil han ønske en risikopremie for å bære denne risikoen. Risikopremien defineres oftest som forskjellen mellom avkastningen i aksjemarkedet og pengemarkedet. Elroy Dimson, Paul Marsh og Mike Staunton fra London Business School har lenge hatt et samarbeid med ABN-AMRO i en felles bestrebelse på å samle inn og publisere historiske tall for avkastning i obligasjons- og aksjemarkeder verden rundt. I 2000 ga de ut boka»The Millenium book – A century of investment returns». I 2002 ble en noe utvidet versjon av boka utgitt, nå under navnet «Triumpf of the optimists: 101 years of global investment returns». Boka blir nå oppdatert og publisert årlig under navnet «ABN AMRO Global Investment Returns Yearbook», og i de siste utgavene er avkastningstall fra Norge også tatt med. Da produktene vi undersøker ble lansert mot slutten av 2000, benytter vi kun data som var tilgjengelig på dette tidspunkt. For alle lesere som er interessert i kapitalforvaltning, anbefaler vi boka fra 2002 på det sterkeste.

I perioden 1900–2000 har det geometriske gjennomsnittet for risikopremien i Japan og USA vært henholdsvis 6.7% og 5.8%.6 Det finnes ikke tilsvarende tall for Europa samlet. Et veid gjennomsnitt for Belgia, Danmark, Frankrike, Tyskland, Irland, Italia, Nederland, Spania, Sverige og UK tilsier en europisk risikopremie for hundreårsperioden på 5.3%. Vi velger å bruke disse tallene også for fremtidig forventet risikopremie. Men vi vil understreke at disse tallene er noe høye som prognoser. Det finnes flere grunner til dette, men den viktigste er kanskje at risikopremien ikke er konstant, men har avtatt etter andre verdenskrig som følge av avtakende politisk risiko (fjerning av handelsbarrierer, ingen nye verdenskriger, avblåsing av den kalde krigen etc.). En lavere risikopremie bidrar til en re-prising i de internasjonale aksjemarkedene, men en slik re-prising kan ikke forventes å gjenta seg. Dette betyr at en gjennomsnittlig risikopremie for hele forrige århundre vil gi et for høyt anslag på fremtidig risikopremie. Temaet drøftes grundig i kapittel 13 i Dimson, Marsh and Staunton (2002). Forfatterne anslår en fremtidig geometrisk risikopremie på mellom 2.5%–4% i USA og UK og 4%– 5% på en verdensportefølje. Vi velger likevel i denne undersøkelsen å bruke de atskillig høyere historiske tallene som prognoser på fremtiden. Dette har vi gjort for sikrere å kunne konkludere i forhold til forventet avkastning til produktene. Dersom produktene gir lav forventet

Side: 79

avkastning, selv med optimistiske anslag på forventet risikopremie i de underliggende indeksene, kan vi med stor grad av sikkerhet konkludere med hvorvidt produktene er dårlige investeringsalternativ.

Sammen med den risikofrie renten forteller risikopremien oss noe om stigningspotensialet til aksjemarkedene, men vi må justere for dividendeutbetalingene. Denne direkteavkastning kommer aksjonærene til gode, men ikke en person som investerer i en opsjon skrevet på en indeks som ikke inkluderer utbytte. Vi bruker månedlig observasjoner de siste fem år frem til november 2000 for de ulike delindekser. Den årlige prosentvise dividenden for henholdsvis Nikkei2257, S&P500 og Euro STOXX50 er beregnet til henholdsvis 0.8%, 1.71% og 2.07%. Som risikofri rente har vi benyttet renten på en seksårig statsobligasjon for Japan, Europa og USA. Vi kan nå finne årlig forventet kursstigning for «Global» i første del av tabell 2.

Tabell 2: Forventet årlig kursstigning for Global og Sektor. Forventet kursstigning i kolonne 5 fremkommer ved å trekke forventet dividende i kolonne 4 fra summen av risikofri rente i kolonne 2 og risikopremien i kolonne 3.

Risikofri rente (6 år)

Risikopremie

Dividende

Kursstigning

«Global»

Euro STOXX50

5.35%

5.3%

2.07%

8.58%

S&P500

6.18%

5.8%

1.71%

10.27%

Nikkei225

1.20%

6.7%

0.8%

6.15%

«Sektor»

STOXX Healthcare

5.35%

0.7990×5.3%

1.43%

8.15%

STOXX Telecom

5.35%

1.0801×5.3%

1.95%

9.12%

STOXX Bank

5.35%

1.0484×5.3%

2.84%

8.07%


Siden produktet «Sektor» kun er knyttet opp mot europeiske bransjeindekser, velger vi å benytte kapitalverdimodellen for å finne forventet avkastning til dette produktet. Vi anvender 5.3% som risikopremie for dette markedet og den seksårige eurorenten i november 2000. Da kan forventet totalavkastning på hver delindeks finnes ved hjelp av sammenhengen




(3)

Vi har benyttet en bred europeisk indeks for det europeiske markedet (Euro STOXX600) og estimert verdien for beta ved å bruke 60 månedlige observasjoner forut for november 2000 for delindeksene og markedsindeksen. De estimerte verdiene for ß er 0.7990, 1.0801 og 1.0484 for henholdsvis STOXX Healthcare, STOXX Telecom og STOXX Bank. Dividendeutbetalingene for indeksene er beregnet som forklart over. Årlige dividendeutbetalinger er på henholdsvis 1.43%, 1.95% og 2.84%. Tallene for begge produktene er gjengitt i tabell 2.

Korrelasjon og volatilitet

I tillegg til forventet kursstigning trenger vi parametere for volatilitet og korrelasjon. Igjen har vi brukt siste 60 måneders avkastningstall for de ulike indeksene og delindeksene. Resultatene av beregningene er gjengitt i tabell 3.

Side: 80

Tabell 3: Volatilitet og korrelasjonsparametre for «Global» og «Sektor»

Volatilitet

Korrelasjoner

«Global»

STOXX 50

S&P 500

Nikkei 225

STOXX 50

19.16%

1.000

S&P 500

16.26%

0.6689

1.000

Nikkei 225

20.36%

0.4017

0.5092

1.000

«Sektor»

STOXX Healthcare

STOXX Telecom

STOXX Bank

STOXX Healthcare

19.97%

1.000

STOXX Telecom

22.36%

0.5048

1.000

STOXX Bank

20.36%

0.6342

0.6204

1.000


5. Forventet avkastning til «Global» og «Sektor»

Tabell 2 og 3 inneholder de nødvendige parametrene for å beregne forventet avkastning. Verktøyet vi benytter, er Monte Carlo simulering. For hvert av produktene simulerer vi månedlige realiseringer av 3 korrelerte aksjeindekser for de gitte parameterverdiene. Vi antar at geometriske avkastninger er normalfordelte. Fra ligning (2) kan vi regne ut hvor stor opsjonsgevinst vi får for en enkelt simulering. Beregningene gjentas 100000 ganger, og forventet verdi av produktet finnes ved å ta gjennomsnittsverdien over alle simuleringene. Her er det viktig å få med den «asiatiske halen». Faktisk har disse produktene «asiatiske haler» både i begynnelsen og slutten av produktets levetid. For «Global» regnes startverdien (S0) som det aritmetiske gjennomsnittet av verdiene den 24. november 2000 og 22. desember 2000 for hver enkelt delindeks (2 måneder), mens for «Sektor» regnes startverdien som det aritmetiske gjennomsnitt av verdiene den 24. november 2000, 22. desember 2000 og 24. januar 2001 for hver enkelt delindeks (3 måneder). Sluttverdien (ST) for «Global» er oppgitt som det månedlige aritmetiske gjennomsnitt i perioden fra og med november 2005 til og med november 2006 for hver enkelt delindeks (13 måneder). Sluttverdien for «Sektor» er oppgitt som det månedlige aritmetiske gjennomsnitt i perioden fra og med mai 2005 til og med november 2006 (19 måneder).

Forventet avkastning ved egenkapitalfinansiering

For aksjeindeksobligasjoner er maksimalt tap begrenset til tegningsomkostninger og tapt alternativinntekt. La oss eksempelvis tenke oss en investor som velger å tegne seg i ett av disse produktene med kr 1000000. I tillegg må han betale kr 45000 i tegningsomkostninger, slik at den totale investeringen er 1045000,–. Dersom opsjonen forfaller verdiløs, vil han motta 1000000 seks år senere. Dette tilsvarer en avkastning på –4.3% over seksårsperioden eller –0.73% årlig. La oss vurdere en alternativ investering i statsobligasjoner. Høsten 2000 var seksårs statsobligasjonsrente 6.3%. Ved å investere i statsobligasjoner til 6.3% rente vil en investering på kr 1045000 ha steget til kr 1507703. Kunden bytter altså en sikker avkastning på kr 507703 målt i 2006-kroner (eller 44.28% i løpet av seks år), mot et usikkert beløp bestemt av en eventuell utbetaling fra opsjonen. Alternativt kan vi evaluere dette

Side: 81

på investeringstidspunktet. Dersom kunden investerer 693107 i statsobligasjoner i 2000, vil dette beløpet ha steget til kr 10000000 eller 44.28% i løpet av seks år. En slik investering sikrer kunden samme formue om seks år som hvert av disse produktene. Forskjellen i investeringsbeløp kr 1045000 – kr 693107 = kr 351893 er beløpet kunden betaler for opsjonen. I dette beløpet er det medregnet transaksjonskostnader og andre såkalte skjulte kostnader som påløper fra opsjonene kjøpes inn i det internasjonale finansmarkedet til avtalen underskrives i av kunden banken. Kostnaden for kunden utgjør i dette tilfellet 33.67% av det totale investeringsbeløpet, og dette er det maksimale beløpet kunden kan tape uttrykt i 2000-kroner. Vi ser fra dette eksempelet at en aksjeindeksert obligasjon er en risikabel investering, hvor vi risikerer å tape tilsvarende 33.67% av den investerte kapitalen i løpet av perioden på 6 år. Men hvor stor er sannsynligheten for tap eller gevinst på disse produktene? I tabell 4 presenterer vi noen tall fra våre simuleringer.

Tabell 4: Forventet avkastning og tapssannsynligheter for egenkapitalfinansierte produkter

Tegningsomkostninger

0.50%

1.50%

2.50%

3.50%

4.50%

«Global»

Forventet avk.

62.39%

60.81%

59.34%

57,59%

56.10%

Sanns. neg. avk

14.16%

14.54%

15.24%

15.98%

16.54%

Sanns. max tap

13.80%

13.80%

13.80%

13.80%

13.80%

Sanns. < 6.3% p.a.

46.35%

47.38%

48.10%

49.24%

50.22%

«Sektor»

Forventet avk.

57.80%

55.70%

54.50%

53.10%

51.40%

Sanns. neg. Avk

22.10%

22.90%

23.40%

24.00%

24.90%

Sanns. max tap

21.70%

21.70%

21.70%

21.70%

21.70%

Sanns. < 6.3% p.a.

53.50%

54.50%

55.50%

56.00%

57.10%


Hver av kolonnene i tabell 4 representerer et gitt nivå for tegningskostnader. For begge produktene påfølger følgende tegningskostnader; inntil 1 million (4.5%), 1–2 million (3.5%), 2– 3 million (2.5%), 3–5 million (1.5%) og over 5 million (0.5%). Forventet avkastning i løpet av seksårsperioden ligger mellom 51% og 62%, avhengig av type produkt og nivå på tegningsomkostningene. «Global» ligger jevnt over noe høyere enn «Sektor». Eksempelvis vil en investering på kr 1045000 i «Global» (pålydende pluss tegningskostnader) i 2000 kunne forventes å utbetale kr 1631245 i 2006, dvs en avkastning på 56.10%. Risikofri investering (6.3% p.a.) gir til sammenligning 44.28 % eller en utbetaling på kr 1507703. Dette innebærer at aksjeindeksobligasjonene har risikopremier utover risikofri rente i størrelsesorden 0.9% – 2.1%.

De siste 3 radene belyser risikoen til produktene. Maksimalt tap oppstår når opsjonene forfaller verdiløse. Dette skjer i 13.80% av tilfellene for «Global» og 21.70% for «Sektor». Sannsynligheten for at en statsobligasjon gir høyere avkastning enn en aksjeindeksobligasjon ligger i intervallet 46.35% – 57.10%. Det kan innvendes mot våre numeriske beregninger at det er vanskelig for en investor å oppnå 6.3% risikofri avkastning etter tegningskostnader. Men selv med en nedjustering av det risi-

Side: 82

kofrie alternativet er det liten tvil om at investor i svært liten grad blir kompensert for den risikoen han påtar seg ved kjøp disse produktene.




Figur 1: Sannsynlighetsfordeling for avkastninger til «Global» og «Sektor» med 100% egenkapitalfinansiering (4.5% tegnings- omkostninger)

Hva med oppsiden for produktene? I figur 1 har vi produsert sannsynlighetsfordelingene for avkastningene for egenkapitalfinansierte produkter med høyeste tegningsomkostninger. Merk at figuren rapporterer årlig avkastning. Vi ser at «Global» har mindre sannsynlighet for negativ avkastning og jevnt over høyere forventet avkastning enn «Sektor». Hovedforskjellen i forventet avkastning mellom de to produktene ligger i gjennomsnittsberegningen. Jo lengre perioden for gjennomsnittsberegningen er, desto mindre er forventet avkastning. Sannsynligheten for å oppnå en avkastning utover 9% årlig (havne innenfor en av de 4 siste søylene) er ca 30% for produktene.

Tabell 5: Forventet avkastning på lånebeløp for gjeldsfinansierte produkter med 8.37% p.a. i effektiv rente.

Tegningsomkostninger

0.50%

1.50%

2.50%

3.50%

4.50%

«Global»

Forventet avk.

–1.65%

–2.90%

–4.43%

–6.09%

–7.59%

Sanns. for negativ avk.

59.81%

60.81%

61.75%

62.88%

63.82%

Sanns. Max tap

13.80%

13.80%

13.80%

13.80%

13.80%

«Shortfall» avkastning

–38.91%

–39.25%

–39.99%

–40.40%

–40.96%

«Sektor»

Forventet avk.

–4.45%

–5.63%

–7.82%

–8.99%

–10.53%

Sanns. for negativ avk.

63.74%

64.58%

65.66%

66.31%

67.22%

Sanns. Max tap

21.70%

21.70%

21.70%

21.70%

21.70%

«Shortfall» avkastning

–43.07%

–43.36%

–44.05%

–44.57%

–45.28%


Forventet avkastning ved gjeldsfinansiering

Resultatene i tabell 4 er basert på 100% egenkapitalfinansiering. En rekke aksjeindeksobligasjoner er finansiert ved lån. La oss anta at en person lånefinansierer hele investeringen i ett av disse produktene med en årlig effektiv fastrente på 8.37%.8 La oss for enkelthets skyld anta at lånet i sin helhet blir tilbakebetalt på forfallstidspunktet. I så fall må vi betale tilbake (1+8.37%)6 = 161.98% av det lånte beløpet. Hvis for eksempel en investor låner kroner 1045000 for å investere i en AIO pålydende kroner 1000000, vil tilbakebetaling av lånet seks år senere beløpe seg til kroner 1692691 (1045000*1,6198). Produktet gir en sikker utbetaling på kroner 1000000 og en usikker opsjonsutbetaling. Hvis for eksempel opsjonsutbetalingen blir kroner 1000000, gir dette en netto utbetaling for investoren på kroner 307309 (2000000–1692691), eller 29,4% (307309/1045000) av det lånte beløpet. Denne prosentsatsen kaller vi avkastning på lånebeløp. Tabell 5 viser forventet avkastning på lånebeløpet gitt ulike tegningskostnader.

Side: 83

Investoren kan for alle nivå av tegningskostnader forvente å tape penger. Ved gjeldsfinansiering har disse produktene en negativ risikopremie! Sannsynlighetene for maksimalt tap er uforandret. I så fall taper investor 61.98% regnet i prosent av lånebeløpet. Låner en investor penger til en investering i «Sektor» («Global») pålydende en million kroner er det 21.70% (13.80%) sannsynlighet for et tap på 619800,– målt i 2006 kroner. Sannsynlighet for negativ avkastning ligger i intervallet 59.89% – 67.22%. Det er altså 2/3 sannsynlighet for at utbetalingen fra produktene ikke er tilstrekkelig til å betjene lånet. «Shortfall» avkastning representerer forventet tap, gitt at produktets utbetaling ikke nok til å betjene lånet. Gitt at investeringen ender med tap, så vil tapet i gjennomsnitt utgjøre 38%–45% av lånt beløp avhengig av produkt og nivå på tegningskostnader.




Figur 2: Sannsynlighetsfordeling for avkastning på lånebeløp til Global og Sektor med 100% gjeldsfinansiering (4.5% tegningsomkostninger)

For å vurdere oppsiden ved gjeldsfinansiering av produktene har vi i figur 2 plottet sannsynlighetsfordelingene for avkastningene. Igjen rapporterer vi kun sannsynlighetsfordelingen til kategorien med høyest tegningsomkostninger. En årlig avkastning (i prosent av lånt beløp) på mer enn 6% (9%) inntreffer i ca 16% (10%) av tilfellene.

6. Oppsummering og konklusjon

Temaet for denne artikkelen er forventet avkastning til aksjeindeksobligasjoner. Underliggende indeks, utbytte, volatilitet, korrelasjon og lengden på gjennomsnittsperioden påvirker alle den forventede avkastning til disse produktene. Vi har undersøkt forventet avkastning til 2 produkter lansert av DnB høsten 2000. Vi har valgt å bruke anslag på forventet risikopremie som er relativt høye. En høy risikopremie burde slå ut i høy forventet avkastning på pro- duktene. Selv med svært optimistiske anslag på ekstraavkastningen i aksjemarkedet, er resultatene i form av forventet avkastning til investor nedslående. Dersom investeringen finansieres med egenkapital, gir produktene marginalt bedre forventet avkastning enn en risikofri plassering. Samtidig er risikoen i disse produktene betydelig. Når investeringen låne-finansieres, spiser bankens rentemargin opp den lille risikopremien disse produktene tilbyr, slik at forventede avkastning blir negativ. Med lavere (og mer realistiske) anslag på forventet risikopremie, ville avkastningen vært enda dårligere, og positiv forventet avkastning ville vært vanskelig å oppnå selv på egenkapitalfinansierte investeringer.

Er alle aksjeindeksobligasjoner like dårlige investeringsobjekt? Det er uumulig å generalisere på bakgrunn av en undersøkelse av bare to produkter. Men det er dessverre ingen grunn til å tro at DnBs produkter er spesielt mye dårligere enn konkurrentenes. Hvorfor

Side: 84

velger småsparere å lånefinansiere svært risikable aktiva, hvor de i gjennomsnitt taper penger på transaksjonen? Kanskje kundene faktisk ønsker dette? I så fall innehar kundene såkalte risikopreferanser. En kunde med risikopreferanse vil kunne foretrekke en risikabel investering med lavere forventet avkastning enn en investering med sikker avkastning. Men risikopreferanser strider i mot hele ideen om produkter med begrenset tap, og det er neppe en god forklaring på hvorfor kunder velger disse produktene. Høyst sannsynlig er disse produktene for innviklet til at den gjengse småsparer klarer å gjennomskue de dårlige oddsene produktene gir. I så måte må han ha tillit til redelig rådgivning fra finansinstitusjonene. Denne undersøkelsen tyder på at i alle fall ikke finansinstitusjoner fortjener en slik tillit.

Teknisk appendiks

Modellen

Vi antar at hver enkel delindeks i=1,2,3 følger en (kontinuerlig) geometrisk Brownsk bevegelse med dynamikk gitt ved




(4)

hvor Si(t) er delindeksverdi på tidspunk t, μi er forventet kursstigning under forutsetning av at alle dividender re-investeres, δi er dividenderaten, σ i er volatiliteten, og Wi(t) er en Brownsk bevegelse. Videre forutsetter vi at




hvor ρij er korrelasjonskoeffisienten mellom delindeksene i og j. Merk at risikopremien til delindeks i er gitt ved μir , hvor r er risikofrie renten. Ligningen (4) innebærer at hvis vi kjenner verdien av delindeks i på tidspunkt t, Si(t) , og i tillegg kjenner alle parametrene, så er verdien av delindeksen på et senere tidspunkt T gitt ved




(5)

En viktig egenskap til en Brownsk bevegelse, som vi benytter oss av i simuleringene, er at Wi(T) −Wi(t) er normalfordelt med forventning 0 og varians T–t.

Estimeringen av volatiliteter og korrelasjonskoeffisienter

La oss innføre notasjonen Si (tk ) for en observasjon av en av delindeksene. Her er tk=t0+kΔt, k = 0,1,2,...,n , t0 er tidspunktet for den første observasjonen og tn er tidspunktet for den siste observasjonen. Vi benytter månedlige observasjoner for estimering av volatiliteter og korrelasjonskoeffisienter, og følgelig har vi at Δt = 1 måned. Ut fra ligningen (5) vet vi at

Side: 85




hvor εi (tk ) er en standard normalfordelt variabel. Dermed kan volatiliteten over n+1 observasjoner beregnes i samsvar med




Korrelasjonskoeffisienten mellom delindeks i og delindeks j finner vi ved å benytte




Simuleringen av opsjonsavkastningen

I våre produkter er opsjonen basert på tre underliggende delindekser i=1,2,3. For å simulere opsjonsavkastningen må vi simulere månedlige delindeksverdier. Ut fra ligningen (5) vet vi at gitt delindeksverdien på tidspunkt tk , kan vi simulere verdien til delindeksen på et fremtidig tidspunkt tk + Δt ved å benytte




Husk at korrelasjonskoeffisienten mellom εi (tk ) og ε j (tk ) er gitt ved ρij . Det vil si at vi må simulere tre standard normalfordelte variable med gitte korrelasjonskoeffisienter. Dette er ikke en helt enkel oppgave. Vår simuleringsalgoritme er basert på en teknikk som kalles «Cholesky dekomponering». Gitt korrelasjonsmatrisen




trenger vi å regne ut øvre triangulærmatrise




Side: 86

slik at CT C = Σ . På hvert tidspunkt tk simulerer vi tre uavhengige standardnormalfordelte variabler ξi (tk ) . Verdiene til εi (tk ) finner vi ut fra




Det vil si,




Etter å ha simulert månedlige delindeksverdier Si (tk ) , k=1,2,…,n kan vi beregne opsjonsavkastningen gitt ved




hvor ω representerer vektene til hver enkelt delindeks, Sistart er aritmetiske gjennomsnittet ii begynnelsen av produktets levetid




og Siforfall er aritmetiske gjennomsnittet på slutten av produktets levetid




Noter

1 Steen Koekebakker og Valeri Zakamouline er ansatt som førsteamanuenser ved Institutt for Økonomi, Høyskolen i Agder2. Begge er utdannet doctor oecon fra NHH.

2 Takk til og Knut Boye (NHH) og Otto Andersen (Høyskolen i Agder), for nyttige kommentarer og innspill.

3 Enkelte aksjeindeksobligasjoner gir en garantert minsteavkastning som er større enn null. I et slikt tilfelle kan opsjonselementet beskrives som
, hvor x er en slik minsteavkastning.

4 En aksjeinvestor og en opsjonsinvestor forholder seg til korrelasjon (diversifisering) og volatilitet på forskjellig måte. En risikoavers eier av en aksjeportefølje ønsker seg, for en gitt forventet avkastning, høy diversifiseringseffekt, og dermed lav volatilitet. Dette påvirker ikke forventet avkastning til porteføljen, bare spredingen rundt forventningsverdien. Høyere volatilitet gir kun høyere risiko. En risikoavers eier av en opsjon skrevet på indeksen ønsker seg en høyest mulig volatilitet, siden avkastningen til en opsjon er en ikke-lineær funksjon av underliggende aktivum (gevinst ved gunstig utfall, ingen gevinst ved ugunstige), vil økt volatilitet utvide utfallsrommet på oppsiden, mens nedsiden forblir den samme. Dermed øker

Side: 87

forventet utbetaling til opsjonen med økt volatilitet.

5 STOXX Ltd. Er en joint venture av Deutsche Boerse AG, Dow Jones & Company og SWX Group som produserer, distribuerer og markeds-fører Dow Jones STOXX® indeksene. Denne indeksfamilien omfatter blant annet en rekke europeiske regionale- og bransjeindekser. For ytterligere informasjon se: http://www.stoxx.com.

6 Når vi bruker historiske tall for risikopremien for å anslå fremtidig premie over flere år, er det geometriske gjennomsnittstall som må benyttes fremfor et standard aritmetisk gjennomsnitt. Se kapittel 4 i Kritzman (2000) for en grundig gjennomgang av forskjellen mellom aritmetisk og geometrisk gjennomsnittlig avkastning.

7 Da vi ikke har utbyttetall for Nikkei225 tilgjengelig, valgte vi å gjøre utbytteberegningene for den japanske TOPIX-indeksen.

8 Dette representerer den effektive renten på en reell lånekontrakt inngått mellom DnB og en sparekunde i forbindelse med investering i disse produktene høsten 2000. Vi noterer oss et risikopåslag fra bankens side på over 2% utover 6-årig statsobligasjonsrente. Dette synes grovt da brorparten av beløpet skal brukes til å investere i nettopp risikofrie statsobligasjoner. Motpartsrisi- koen for banken er i realiteten svært lav i forbindelse med lånefinansiering av disse produktene.

Referanser

Bodie, Z., Kane J. og A. J. Marcus, 2005, Investments, McGraw-Hill, New York.

Dimson, E., Marsh, P. and Mike Staunton, 2000, The millennium book: A century of investment returns, ABN Amro and London Business School.

Dimson, E., Marsh, P. and Mike Staunton, 2002, Triumpf of the optimists: 101 years of global investment returns. Princeton University Press. Princeton NJ.

Klype, J., 2006, Strukturerte produkter, kapittel 4 i Reppen (red.), Alternative investeringer, Gyldendal Norsk Forlag.

Kritzman, M. P., 2000, Puzzles of finance – Six practical problems and their remarkable solutions, John Wiley & Sons, New York.